大圆

大圆是 球体 的一个 截面，包含 球体 的一条 直径 (Kern 和 Bland 1948, p. 87)。不包含直径的球体截面称为 小圆。大圆在 球面心射影 中变成一条直线 (Steinhaus 1999, pp. 220-221)。

球体上两点之间的最短路径，也称为正程线，是大圆的一段。要找到位于 纬度 和 经度 的 和 两点之间在 半径 为 的 球体 上的大圆（测地线）距离，请使用以下公式将 球坐标 转换为 笛卡尔坐标：

(1)

（请注意，纬度 与 余纬度 的 球坐标 的关系为 ，因此转换为 笛卡尔坐标 会将 和 分别替换为 和 。）现在找到 角度 在 和 之间使用 点积，

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			(3)
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大圆距离则为

(5)

对于地球，赤道 半径 约为 千米，或 3963 英里（法定）。不幸的是，地球的 扁率 无法在这个简单的推导中考虑，因为对于 球状体 或 椭球体 来说，问题要复杂得多（每种球体或椭球体都有一个 半径，它是 纬度 的函数）。这导致了 扁球体测地线 和其他 椭球体 上的 测地线 的极其复杂的表达式。

大圆的方程可以使用 测地线 形式主义显式计算。通过写入以下公式转换为 球坐标：

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然后，偏导数 、 和 的组合由下式给出：

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测地线 微分方程变为：

(11)

然而，因为这是 的特殊情况，其中 和 是 的显式函数，测地线 解采用特殊形式：

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（Gradshteyn 和 Ryzhik 2000, p. 174, eqn. 2.599.6），其中 和 是 积分常数。现在以更简单的形式重写：

(16)

重新排列，并取两边的正弦：

(17)

接下来，使用 三角加法公式 展开左侧，并写出 以获得：

(18)

现在乘以 并重新排列以获得：

(19)

这就是测地线的方程。

将每个项的第一部分识别为 笛卡尔坐标 、、，分别（19）可以立即改写为：

(20)

这表明，给出球体表面上两点之间最短路径的测地线位于一个 平面 上，该平面穿过所讨论的两点，也穿过 球体 的中心。