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第二基本形式

设 M 为一个 正则曲面，v_(p),w_(p) 是 切空间 M_(p) 中 M 的点。对于 M in R^3，第二基本形式是 切空间 M_(p) 上的对称双线性形式，

II(v_(p),w_(p))=S(v_(p))·w_(p),
(1)

其中 S 是 形状算子。第二基本形式满足

II(ax_u+bx_v,ax_u+bx_v)=ea^2+2fab+gb^2
(2)

对于任何非零 切向量。

第二基本形式由下式显式给出

edu^2+2fdudv+gdv^2
(3)

其中

e=sum_(i)X_i(partial^2x_i)/(partialu^2)
(4)
f=sum_(i)X_i(partial^2x_i)/(partialupartialv)
(5)
g=sum_(i)X_i(partial^2x_i)/(partialv^2),
(6)

并且 X_i 是表面法线的 方向余弦。第二基本形式也可以写成

e=-N_u·x_u
(7)
=N·x_(uu)
(8)
f=-N_v·x_u
(9)
=N·x_(uv)
(10)
=N_·x_(vu)
(11)
=-N_u·x_v
(12)
g=-N_v·x_v
(13)
=N·x_(vv),
(14)

其中 N 是 法向量，x:U->R^3 是一个 正则参数片，并且 x_u 和 x_v 分别是 x 关于参数 u 和 v 的偏导数，或者

e=(det(x_(uu)x_ux_v))/(sqrt(EG-F^2))
(15)
f=(det(x_(uv)x_ux_v))/(sqrt(EG-F^2))
(16)
g=(det(x_(vv)x_ux_v))/(sqrt(EG-F^2)).
(17)

另请参阅

第一基本形式, 基本形式, 形状算子, 第三基本形式

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Gray, A. "The Three Fundamental Forms." §16.6 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 380-382, 1997.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

第二基本形式

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "第二基本形式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SecondFundamentalForm.html

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