球形码

如何在 单位球体 上分布 个点，使得它们最大化任意两点之间的最小距离？这个最大距离称为覆盖半径，这种配置称为球形码（或球形堆积）。1943 年，Fejes Tóth 证明了对于 个点，总是存在两个点，它们的距离 为

并且对于 、4、6 和 12，这个极限是精确的。因此，球形堆积问题有时被称为 Fejes Tóth 问题。一般问题尚未解决。

球形码类似于 汤姆森问题，后者寻求约束在 球体 表面移动并以平方反比定律相互排斥的 个经典电子的稳定平衡位置。

在 Wolfram 语言 中，可以使用函数SpherePoints[n]。

对于两个点，这些点应该位于 直径 的两端。对于四个点，它们应该放置在内接 正四面体 的 多面体顶点 上。对于五个点，没有唯一的最佳解决方案，因为距离不能降低到低于六个点的距离。对于六个点，它们应该放置在内接 正八面体 的 多面体顶点 上。对于七个点，最佳解决方案是四个角度为 的等边 球面三角形。对于八个点，最佳分散不是内接 立方体 的 多面体顶点，而是具有相等 多面体边 的 正方反棱柱 的多面体顶点。九个点的解是八个角度为 的等边球面三角形。对于 12 个点，解是内接 正二十面体。

球形堆积对应于将 个球体放置在中心单位球体周围。从简单的三角学，

因此， 个球体的半径由下式给出

对于最小分离角 。Hardin 和 Sloane 给出了 和 、4、5 的最小分离和球体位置表。

“几乎” 13 个球体可以围绕一个中心球体放置，因为当放置 12 个球体时，会留下一个间隙，这个间隙几乎足够容纳一个额外的球体（左图）。事实上，球体的半径可以增加到 1.10851（假设中心单位球体），在 12 个球体不再适合之前（中图）。为了将 13 个球体围绕中心单位球体放置，它们的半径必须不大于 0.916468（右图）。这些值分别对应于 Hardin 和 Sloane 的角度 和 。

堆积八个单位球体，它们的中心位于立方体的顶点。那么，适合中心孔（左图）的最大球体的半径由下式给出

给出

类似地，可以从一侧穿到另一侧（右图）的最大球体的半径为

与

给出