整数碗

将两个半径为 1/2 的实心球体放置在一个半径为 1 的空心球体内部，使得两个较小的球体在大球体的中心相互接触，并与大球体直径的端点处相切。这种排列方式被称为“整数碗”（Soddy 1937），因为可以填充到其中的无限球链中，每个连续的球体与其邻居相切，其弯曲度都是整数。前几个弯曲度是 , 2, 5, 6, 9, 11, 14, 15, 18, 21, 23, ... (OEIS A046160)。下表给出了前几个球环的大小和位置。

1		0	0	--
2	2		0	--
3	5
4	6			0
5	9
6	11			0
7	14
8	15
9	18			0
10	21
11	23
12	27			0,
13	30
14	33
15	38			0

球体也可以沿着与两个半径为 2 的球体相切的平面进行堆积（Soddy 1937）。可以使用五个相切球体的方程找到整数序列。令 得到

例如， , , , , , 等等，得到序列 , 2, 3, 11, 15, 27, 35, 47, 51, 63, 75, 83, ... (OEIS A046159)。下表给出了前几个球环的大小和位置。

1		0	--
2	2	0	--
3	3		0
4	11
5	15		0
6	27
7	35		0
8	47
9	51
10	63		0
11	75
12	83
13	99		0
14	107
15	111
16	123
17	143		0
18	147
19	155
20	171

B. L. Galebach 和 A. R. Wilks 考虑了类似的将两个弯曲度为 2 的圆放置在弯曲度为 的圆内，然后构建相互相切的圆链的问题。这些圆具有由 , 2, 3, 6, 11, 14, 15, 18, 23, 26, 27, 30, 35, 38, ... (OEIS A042944) 给出的整数弯曲度。在这些数字中，与 2、3、6、11 (mod 12) 同余且在此序列中缺失的唯一已知数字是 78, 159, 207, 243, 246, 342, ... (OEIS A042945)，据推测，这个序列是有限的。

Hannachi（私人通讯，2006 年 3 月 10 日）在一个弯曲度为 的球体内部找到了一个由三个弯曲度为 6 的球体和一个弯曲度为 7 的球体组成的碗。