球面点拾取

要在单位球面的表面上选取一个随机点，选择来自均匀分布和的球面坐标 和 是不正确的，因为面积元素 是 的函数，因此以这种方式选取的点将“聚集”在极点附近（如上左图所示）。

可以使用 Wolfram 语言中的函数在单位球面上拾取 个随机点：RandomPoint[Sphere[], n].

为了获得这样的点，使得球面上任何小区域预期包含相同数量的点（如上右图所示），选择 和 作为 上的随机变量。然后

			(1)
			(2)

给出了均匀分布在 上的点集的球面坐标。这之所以有效，是因为立体角的微分元素由下式给出

(3)

极角的分布 可以从下式找到

(4)

通过对 求 (2) 的导数得到 ，解 (2) 得到 ，并将结果代入 (4) 并令 ，得到分布

(5)

类似地，我们可以选择 均匀分布（因此我们有 ），并获得点

			(6)
			(7)
			(8)

其中 和 ，这些点也均匀分布在 上。

Marsaglia (1972) 推导出一个优雅的方法，该方法包括从 上的独立均匀分布中选取 和 ，并拒绝满足 的点。从剩余的点中，

			(9)
			(10)
			(11)

在单位球面的表面上具有均匀分布。此方法也可以扩展到超球面点拾取。上面的图显示了 100、1000 和 5000 个初始点的分布（其中计数指的是丢弃之前的点数）。

Cook (1957) 扩展了 von Neumann (1951) 的方法，给出了一个在单位球面的表面上均匀分布地拾取点的简单方法。从 上的均匀分布中选取四个数字 、、 和 ，并拒绝满足以下条件的点对

(12)

从剩余的点中，四元数变换规则表明，具有笛卡尔坐标的点

			(13)
			(14)
			(15)

具有所需的分布 (Cook 1957, Marsaglia 1972)。上面的图显示了 100、1000 和 5000 个初始点的分布（其中计数指的是丢弃之前的点数）。

拾取球面上随机点的另一种简单方法是生成三个高斯随机变量 、 和 。然后，向量的分布

(16)

在表面 上是均匀的 (Muller 1959, Marsaglia 1972)。