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长球面

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ProlateSpheroid

长球面是一种球状体，它是“尖的”而不是“扁平的”，即极半径 c 大于赤道半径 a，所以 c>a (Tietze 1965 年第 27 页称之为“纺锤形椭球体”)。对称的鸡蛋（即两端形状相同）近似于长球面。长球面是通过绕椭圆的长轴旋转而获得的旋转曲面 (Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999 年，第 10 页)，并具有笛卡尔方程

(x^2+y^2)/(a^2)+(z^2)/(c^2)=1.
(1)

长球面的表面积可以计算为绕 z 轴的旋转曲面，

S=2piintr(z)sqrt(1+[r^'(z)]^2)dz
(2)

半径是 z 的函数，由下式给出

r(z)=asqrt(1-(z/c)^2).
(3)

被积函数然后是

rsqrt(1+r^('2))=asqrt(1+((a-c)(a+c)z^2)/(c^4)),
(4)

积分由下式给出

S=2piaint_(-c)^csqrt(1+((a-c)(a+c)z^2)/(c^4))dz
(5)
=2pia^2+(2piac^2)/(sqrt(c^2-a^2))sin^(-1)((sqrt(c^2-a^2))/c).
(6)

使用恒等式

e^2=(c^2-a^2)/(c^2)
(7)

(其中分子的符号与扁球面的离心率的定义相反) 然后给出

S=2pia^2+2pi(ac)/esin^(-1)e
(8)

(Beyer 1987 年，第 131 页)。请注意，这是书写长球面表面积的传统形式，尽管它在形式上等同于通过恒等式书写扁球面的传统形式

(c^2pi)/(e(a,c))ln[(1+e(a,c))/(1-e(a,c))]=(2piac)/(e(c,a))sin^(-1)[e(c,a)],
(9)

其中 e(x,y) 由下式定义

e(x,y)=sqrt(1-(x^2)/(y^2)).
(10)

另请参阅

胶囊体, Darwin-de Sitter 球状体, 椭球体, 柠檬曲面, 扁球面, 长球面坐标, 球体, 球状体, 超卵形体, 超椭圆

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参考文献

Beyer, W. H. CRC 标准数学表，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1987.Hilbert, D. 和 Cohn-Vossen, S. 几何与想象。 New York: Chelsea, p. 10, 1999.Tietze, H. 数学名题：从古代到现代的已解和未解数学问题。 New York: Graylock Press, p. 27, 1965.Wrinch, D. M. "倒长球面。" Philos. Mag. 280, 1061-1070, 1932.

Wolfram|Alpha 参考

长球面

请引用为

Weisstein, Eric W. "长球面。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ProlateSpheroid.html

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