度量张量

粗略地说，度量张量 是一个 函数，它告诉我们如何计算给定 空间 中任意两点之间的距离。 它的分量可以看作是乘法因子，必须放在微分位移 前面，在广义的 勾股定理 中

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在 欧几里得空间 中， 其中 是 克罗内克 delta（当 时为 0，当 时为 1），再现了 勾股定理 的常用形式

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通过这种方式，度量张量可以被认为是工具，通过引入一种广义的 坐标系（Borisenko 和 Tarapov 1979），空间的几何特征可以被“算术化”。

在上述简化中，所讨论的空间最常见的是 光滑流形 ，由此度量张量本质上是一个几何对象 ，它接受两个 向量 输入，并计算单个向量 的平方 长度 ，或者两个不同向量 的 标量 积 （Misner et al. 1978）。 在这个类比中，所讨论的输入最常见的是位于 切空间 中的 切向量，对于某个点 ，这一事实促进了度量张量更常见的定义，即作为 可微 内积 对可微流形 的所有切空间的集合的赋值（O'Neill 1967）。 因此，一些文献将可微流形 上的度量张量定义为仅仅是一个 对称 非退化双线性形式（Dodson 和 Poston 1991）。

可以使用张量场及其上的指标语言来陈述等效的定义。 沿着这些思路，一些文献将度量张量定义为光滑流形 上的对称 张量场 ，使得对于所有 ， 是非退化的，且 对于某个非负整数 （Sachs 和 Wu 1977）。 这里， 称为 的 指标，表达式 指的是相应二次型的 指标。 这种定义似乎不如上面陈述的那些定义常见。

度量张量在文献中有许多同义词。 特别是，度量张量有时被称为基本张量（Fleisch 2012）或几何结构（O'Neill 1967）。 赋予度量张量的流形有时被称为几何流形（O'Neill 1967），而由实向量空间 和度量张量 组成的对 称为度量向量空间（Dodson 和 Poston 1991）。 在符号上，度量张量最常表示为 或 ，尽管符号 （O'Neill 1967）、（Fleisch 2012）和 （Dodson 和 Poston 1991）有时也被使用。

当定义为可微 内积，作用于可微 流形 的每个 切空间 时，与度量张量相关的 内积 最常被假定为对称的、非退化的和 双线性的，即，它最常被假定为接受两个 向量 作为参数，并产生一个 实数 ，使得

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但是请注意，内积不必是 正定的，即条件

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当且仅当 时等号成立，不一定总是满足。 当度量张量是 正定的 时，它被称为 黎曼度量，或更准确地说，弱黎曼度量； 否则，它被称为非黎曼、（弱）伪黎曼 或 半黎曼，尽管后两个术语在不同的上下文中有时使用不同。 黎曼度量最简单的例子是上面讨论的 欧几里得度量 ； 非黎曼度量最简单的例子是狭义相对论的 闵可夫斯基度量，它是 符号差 的更一般度量的四维版本，它在 维 洛伦兹空间 上诱导了标准的 洛伦兹内积。 在一些文献中，非退化条件被改变以包括弱非退化或强非退化（Marsden et al. 2002）； 人们也可以考虑其相关二次型未能对称的度量张量，尽管这种情况远不常见。

在坐标 记号 中（相对于选择的基），度量张量 及其逆 满足许多基本恒等式，例如，

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和

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其中 是度量系数矩阵。 恒等式 (0) 的一个例子来自狭义相对论，其中 是 闵可夫斯基度量 的度量系数矩阵，符号差为 ，即

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一般来说，恒等式 (3)、(2) 和 (1) 可以简洁地写成

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其中

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更重要的是，

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给出

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因此，产生了度量张量及其逆之间的定量关系。

如果度量是 正定的，则 度量判别式 是 正的。 对于二维空间中的度量，这个事实可以用不等式定量地表示

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逆变 度量和 协变 度量的 正交性 由以下规定

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对于 ，给出 个线性方程，关联 个量 和 。 因此，如果已知 个度量，则可以确定其他度量，这一事实总结为度量张量的存在给出了从逆变张量变为协变张量以及反之亦然的几何方法（Dodson 和 Poston 1991）。

在二维空间中，

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因此，如果 是对称的，

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在任何对称 空间 中（例如，在 欧几里得空间 中），

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因此

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两条参数曲线之间的 角度 由下式给出

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所以

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和

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在任意（有限）维度中，线元 可以写成

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其中使用了 爱因斯坦求和约定。 在三维中，这产生

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因此，可以得出结论，三维空间中的度量张量 可以写成

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此外，由于对于 ，当相对于 正交 坐标系工作时，，因此三维空间的 线元 变为

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其中 称为 比例因子。 这些概念中的许多可以推广到更高的维度和更一般的背景中。