流形 -- 来自 - 数学天地

流形是一个拓扑空间，它局部欧几里得（即，在每个点周围，都存在一个邻域，该邻域在拓扑上与开单位球在中相同）。为了说明这个概念，考虑古代认为地球是平的观点，这与现代证据表明地球是圆的观点形成对比。这种差异本质上源于这样一个事实：在我们看到的小尺度上，地球确实看起来是平的。一般来说，任何在小尺度上接近“平坦”的物体都是流形，因此流形构成了我们可以在其上生活的物体的概括，在这些物体中，我们会遇到地球是圆形还是平面的问题，正如庞加莱首次提出的那样。

更简洁地说，任何可以被“制图”的对象都是流形。

拓扑学的目标之一是找到区分流形的方法。例如，一个圆在拓扑上与任何闭环相同，无论这两个流形看起来多么不同。类似地，带有把手的咖啡杯的表面在拓扑上与甜甜圈的表面相同，这种类型的表面被称为（单把手）环面。

作为拓扑空间，流形可以是紧致的或非紧致的，以及连通的或不连通的。通常，未经修饰的术语“流形”用于表示“带边界的流形”。本文档中遵循的是这种用法。但是，作者有时会更精确地使用术语开流形表示无边界的非紧致流形，或使用闭流形表示带边界的紧致流形。

如果流形包含自己的边界，那么不出所料，它被称为“带边界的流形”。中的闭单位球是带边界的流形，其边界是单位球面。这个概念可以推广到带有角的流形。根据定义，流形上的每个点都有一个邻域，以及该邻域与中的开球的同胚。此外，流形必须具有第二可数拓扑。除非另有说明，否则假设流形具有有限维度，其中为正整数。

光滑流形（也称为可微流形）是指重叠图“平滑相关”的流形，这意味着一个图的反函数接上另一个图是一个从欧几里得空间到自身的无限可微映射。流形作为“全局对象”自然地出现在各种数学和物理应用中。例如，为了精确描述机器人手臂的所有配置或火箭的所有可能位置和动量，需要一个对象来存储所有这些参数。出现的对象是流形。从几何学的角度来看，流形代表着关于全局与局部性质的深刻思想。

流形的基本例子是欧几里得空间，它的许多性质都延续到流形。此外，欧几里得空间子集的任何光滑边界，如圆或球面，都是流形。因此，流形在几何学、拓扑学和分析学的研究中引起了人们的兴趣。

子流形是流形的子集，它本身也是流形，但维度较小。例如，球面的赤道是子流形。流形的许多常见例子都是欧几里得空间的子流形。事实上，惠特尼在 1930 年代证明，任何流形都可以嵌入到中，其中。