内积

内积是点积的推广。在向量空间中，它是一种将向量相乘的方法，这种乘法的结果是一个标量。

更准确地说，对于实向量空间，内积 满足以下四个性质。设 、 和 为向量， 为标量，则

1. .

2. .

3. .

4. 且仅当 时等号成立。

上面列表中的第四个条件被称为正定条件。与此相关，请注意，一些作者将内积定义为函数 ，仅满足上述条件中的前三个，并附加（较弱的）非退化条件（即，如果对于所有 ，，则 ）。在这样的文献中，满足所有这四个条件的函数通常被称为正定内积 (Ratcliffe 2006)，尽管不满足正定性的内积有时被称为不定内积，以避免混淆。这种差异虽然细微，但引入了许多值得注意的现象：例如，不满足正定性的内积可能会产生“范数”，对于某些向量（此类向量称为类空间向量）产生虚数大小，并诱导出“度量”，而这些“度量”实际上不是度量。洛伦兹内积是不定内积的一个例子。

向量空间连同其上的内积被称为内积空间。此定义也适用于任何域上的抽象向量空间。

内积空间的例子包括

1. 实数 ，其中内积由下式给出

(1)

2. 欧几里得空间 ，其中内积由点积给出

(2)

3. 实函数的向量空间，其定义域是闭区间 ，内积为

(3)

当给定复向量空间时，上面的第三个性质通常被替换为

(4)

其中 指的是复共轭。具有此性质的内积称为埃尔米特内积，具有埃尔米特内积的复向量空间称为埃尔米特内积空间。

每个内积空间都是度量空间。 度量由下式给出

(5)

如果此过程产生完备度量空间，则称为希尔伯特空间。更重要的是，每个内积自然地诱导一个形式为

(6)

的范数，由此可见，每个内积空间自然也是赋范空间。如上所述，不满足正定性的内积产生“度量”——因此也产生“范数”——由于可能不满足各自的正定性条件，它们实际上有所不同。例如， 维洛伦兹空间（即，由 与洛伦兹内积组成的内积空间）配备有形式为

(7)

的度量张量和形式为

(8)

的平方范数，适用于所有向量 。特别地，可以有负的无穷小距离和平方范数，以及向量范数始终为零的非零向量。因此，度量（分别是范数）实际上不是度量（分别是范数），但当不会引起混淆时，通常仍被称为度量（分别是范数）。