度量签名

术语度量签名指的是度量张量 在光滑流形 上的签名，它是一种工具，用于量化的切丛中切向量的正、零和负无穷小距离的数量，并且最容易根据许多相关结构的签名来定义。

最常见的是，人们将度量张量 的签名与二次型 的签名 识别为同一概念，其中二次型 是由 在任何切空间 （对于点 ）上诱导产生的。实际上，给定任何切空间 的正交向量基 ， 在任意向量 和 在 中的作用由下式给出

(1)

由此， 的签名被定义为任何形式 的签名，即内积 的正值、负值和零值的有序三元组 。由于对于 的签名对于 中的所有点 保持不变，因此该值是明确定义的。对于非退化二次型，值 将始终满足 ，由此 的签名将是有序对 。

或者，可以根据矩阵签名来查看度量张量的签名。对于一个 维可微流形 ，其切空间 具有基 ，张量 诱导出一个 矩阵 ，其 -项 由下式给出

(2)

由于矩阵 的签名对于所有 都是相同的，因此可以将度量张量 的签名定义为任何 的 的矩阵签名。此外，通过在任何逐点切空间 上重写 ，可以得出结论，该定义等效于上面提到的二次签名定义。

在许多情况下，人们发现将度量张量 本身表示为对角矩阵是有益的，通常表示为 ，其分量有时称为与 相关的“度量系数”。在这种情况下， 的签名正是 的矩阵签名。例如，在闵可夫斯基空间中，

(3)

这对应于 4 维洛伦兹空间中的度量张量具有签名 (Misner et al. 1973)。这种观点要求人们为 的作用定义一个局部基，但根据西尔维斯特惯性定律，此定义是明确定义的，与基向量的选择无关。

在 维伪欧几里得空间中，度量张量通常表示为 ，其签名定义为有序对 ，其中 和 分别表示 展开式中正项和负项的数量。

(4)

从 符号到 符号的转换由恒等式总结

(5)

其中 是适当选择的基向量 (Snygg 2012)。

对于 维欧几里得空间，度量签名是 。对于 维洛伦兹空间 ，度量签名是 ，例如，特殊相对论的闵可夫斯基空间的签名是 (如上所述)。请注意，在上面的 (1) 中，正平方项和负平方项的顺序有时会交换，在这种约定下，签名将由 给出，例如， 对于 维欧几里得空间，以及 对于 维洛伦兹空间。这种约定也可能延续到 是矩阵 的情况，例如，在上面的公式 (2) 中， 可以替换为 。

签名为 的一般张量出现在克利福德代数的研究中。