对称双线性形式

在向量空间 上的对称双线性形式是一个双线性函数

(1)

满足 。

例如，如果 是一个 对称矩阵，那么

(2)

是一个对称双线性形式。考虑

(3)

那么

(4)

一个二次形式也可以被标记为 ，因为二次形式与对称双线性形式存在一一对应关系。注意 是一个二次形式。如果 是一个二次形式，那么它通过下式定义一个对称双线性形式

(5)

对称双线性形式的核，或根，是向量的集合

(6)

如果一个二次形式的核为零，则称其为非退化的。也就是说，如果对于所有 ，存在一个 使得 。 的秩是矩阵 的秩。

如果存在一个基 （称为正交基），使得 是一个 对角矩阵，则形式 是对角化的。或者，存在一个矩阵 使得

(7)

是一个对角二次形式。矩阵 的第 列是向量 。

一个非退化的对称双线性形式可以被对角化，使用 格拉姆-施密特正交化 找到 ，使得对角矩阵 的项为 1 或 。如果有 个 1 和 个 ，那么 被称为具有 矩阵符号差 。实非退化对称双线性形式通过它们的符号差进行分类，意义在于给定两个具有符号差 的形式的向量空间，存在向量空间的同构，将一个形式映射到另一个形式。

对于所有非零 ，满足 的对称双线性形式称为正定。例如，通常的内积是正定的。正定形式具有符号差 。负定形式是正定形式的负数，并具有符号差 。如果该形式既不是正定的也不是负定的，那么必须存在向量 使得 ，称为迷向向量。

一般的对称双线性形式 可以被对角化，对角项为 1、 或 0，因为形式 在 商向量空间 上总是非退化的。如果 是一个复向量空间，那么对称双线性形式可以被对角化，使其项为 1 或 0。对于其他域，对称双线性形式比实数或复数情况更多。例如，如果域的域特征为 2，那么不可能除以 2，因为 。因此，在特征 2 中，二次形式和对称双线性形式之间没有对应关系。

在向量空间上的对称双线性形式，其域 不是实数，已经对一些域进行了分类。还有关于自由阿贝尔群上的对称双线性形式的定理，例如 。

一个对称双线性形式 通过给定一个基 并设置 对应于一个矩阵 。如果基的改变将一个形式变为另一个形式，则认为两个对称双线性形式是等价的。因此，，其中 是任何可逆矩阵。因此，对称双线性形式的秩是一个不变量。

此外， 可以通过 改变。 在 中的陪集是 的一个良好定义的不变量，称为判别式。对于实数形式，它要么是 1 要么是 -1。对于 ，判别式可以是任何有理数 ，其中 和 是无平方因子的。在有限域上的对称双线性形式由其秩和判别式确定。

在 p-adic 数 上的对称双线性形式由其秩、判别式和另一个不变量 表征。给定一个对于 正交的基 ，定义 ，那么

(8)

其中 是希尔伯特符号。

两个对称双线性形式在有理数上是等价的 当且仅当 它们在每个 以及实数（也称为 ）中都是等价的。 中的数据可以被认为是“局部”信息，可以将其拼凑起来以产生 中的“全局”信息。因此，有理数形式具有可数个不同的不变量，对于每个素数有三个，对于实数有两个。