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曲线坐标

由相交曲面构成的坐标系。如果所有交点都成直角，则称曲线坐标构成正交坐标系。否则，它们构成斜角坐标系。

一个通用的度规 g_(munu) 具有线元素

ds^2=g_(munu)du^mudu^nu,
(1)

其中使用了爱因斯坦求和约定。正交坐标被定义为具有对角度规的坐标，因此有

g_(munu)=delta_nu^muh_mu^2,
(2)

其中 delta_nu^mu 是克罗内克 delta，而 h_mu 是所谓的尺度因子。因此，正交曲线坐标具有简单的线元素

ds^2=delta_nu^muh_mu^2du^mudu^nu
(3)
=h_mu^2(du^mu)^2,
(4)

这正是勾股定理，因此微分向量为

dr=h_mudu_muu_mu^^,
(5)

或

dr=(partialr)/(partialu_1)du_1+(partialr)/(partialu_2)du_2+(partialr)/(partialu_3)du_3,
(6)

其中尺度因子为

h_i=|(partialr)/(partialu_i)|
(7)

和

u_i^^=((partialr)/(partialu_i))/(|(partialr)/(partialu_i)|)
(8)
=1/(h_i)(partialr)/(partialu_i).
(9)

因此，方程 (◇) 可以重新表示为

dr=h_1du_1u_1^^+h_2du_2u_2^^+h_3du_3u_3^^.
(10)

另请参阅

曲线， 散度， 梯度， 度规， 线元素， 正交坐标系， 尺度因子， 斜角坐标系

在 Wolfram|Alpha 中探索

参考文献

Byerly, W. E. "Orthogonal Curvilinear Coördinates." §130 in An Elementary Treatise on Fourier's Series, and Spherical, Cylindrical, and Ellipsoidal Harmonics, with Applications to Problems in Mathematical Physics. New York: Dover, pp. 238-239, 1959.Moon, P. and Spencer, D. E. Foundations of Electrodynamics. Princeton, NJ: Van Nostrand, 1960.Moon, P. and Spencer, D. E. Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 1-3, 1988.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

曲线坐标

请引用为

Weisstein, Eric W. "Curvilinear Coordinates." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CurvilinearCoordinates.html

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