正定二次型

一个 二次型 被称为是正定的，如果对于 ，。一个 实 变量的 二次型 是正定的，当且仅当 它的规范形式是

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一个 二元二次型

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的两个 实 变量是正定的，如果对于任何 ，它都 ，因此如果 且 二元二次型判别式 。一个 二元二次型 是正定的，如果存在 非零 的 和 使得

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(Le Lionnais 1983)。

正定二次型

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被称为是简化的，如果 ，，且如果 或 ，则 。在 一般线性群 的作用下，即在坐标 的线性变换集合下，其中系数为整数且行列式为 ，存在一个唯一的简化正定二元二次型等价于任何给定的一个。

在 基本判别式 的简化二次型集合与具有判别式 的唯一 二次域 的 分式理想 类集合之间存在 一一对应。令 为具有 基本判别式 的简化正定二元二次型，并考虑映射 ，它将形式 映射到包含 理想 的理想类。那么这个映射是一一对应的且是满射。因此，虚二次域 的 类数 等于判别式为 的简化二元二次型的数量，这可以通过系统地构造判别式为 的所有二元二次型，并遍历系数 和 来轻松计算。第三个系数 然后由 、 和 确定。

一个 二次型 是正定的，当且仅当 的每个 特征值 都是 正 的。一个 二次型 ，其中 是一个 埃尔米特矩阵，是正定的，如果 的左上角的所有主子式都是 正 的，换句话说

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