协变张量

协变张量，用下标表示（例如，）是一种张量，具有特定的变换性质。一般来说，这些变换性质与逆变张量的变换性质不同。

为了检验协变张量的变换性质，首先考虑梯度

(1)

为此

(2)

其中 。现在让

(3)

那么任何一组量 ，其变换规则为

(4)

或者，定义

(5)

按照

(6)

是一个协变张量。

逆变张量是一种变换性质不同的张量，用 表示。为了将逆变张量 转换为协变张量 （降指标），使用度量张量 写作

(7)

协变和逆变指标可以同时用于混合张量。

在欧几里得空间中，更一般地，在平坦黎曼流形中，可以找到一个坐标系，其中度量张量是常数，等于克罗内克 delta

(8)

因此，升降指标是平凡的，因此协变张量和逆变张量具有相同的坐标，可以被等同。这样的张量被称为笛卡尔张量。

对于平坦伪黎曼流形（如闵可夫斯基空间）也存在类似的结果，协变张量和逆变张量可以被等同。然而，升降指标会改变张量时间分量的符号，因为闵可夫斯基度量中存在负特征值。