洛伦兹内积

在 上的标准洛伦兹内积由下式给出

(1)

即，对于向量 和 ，

(2)

赋予由上述洛伦兹内积诱导的 度规张量 被称为 闵可夫斯基空间，并记为 。

在 上的洛伦兹内积只不过是更一般的洛伦兹内积 在 维 洛伦兹空间 上且具有 度规符号 的一个特例：在这种更一般的环境中，两个向量 和 的内积形式为

(3)

这两个向量的洛伦兹内积有时表示为 ，以避免角括号与标准欧几里得内积（Ratcliffe 2006）混淆。如果使用等效的度规符号 （即，对于闵可夫斯基空间为 ），则可以进行类似的表示。

四维洛伦兹内积在狭义相对论中用作工具，即作为一种独立于参考系的测量，并取代了典型的欧几里得距离概念。对于 四维向量 在 闵可夫斯基空间 中，变量 、 和 可以被认为是空间变量，而 作为时间变量。在各种文献中，时间变量有时标记为 ；此外，当在广义相对论中使用时，可以使用 或 ，其中 表示光速， 表示虚数单位（Misner等人 1973）。为了简单起见，公式 (2) 使用了实时间坐标的约定和适当选择的单位，使得光速的值为 。

对于向量 ， 的符号决定了 的类型： 特别是，如果 ，则 是 类空间 的；如果 ，则 是 类光 的；如果 ，则 被称为 类时 的。经过变量变换后，可以将洛伦兹内积重写为上述形式，其中 在给定的类时向量 的方向上，且满足 。这种变量变换对应于参考系的改变。所有参考系变化的集合共同构成了 洛伦兹群，也称为 正交群 （或当使用 度规符号 时为 ）。