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勾股定理

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PythagoreanTheoremFigure

对于一个直角三角形，其直角边为 a 和 b，斜边为 斜边 c,

a^2+b^2=c^2.
(1)

对于这个最基础的几何定理，存在许多不同的证明。该定理也可以从平面三角形推广到三直角四面体，在这种情况下，它被称为de Gua 定理。勾股定理的各种证明似乎都需要应用某种形式或结果的平行公设：分割证明依赖于直角三角形锐角的互补性，剪切证明依赖于平行四边形的显式构造，相似性证明需要存在非全等的相似三角形，等等 (S. Brodie)。 基于这个观察，S. Brodie 已经证明平行公设等价于勾股定理。

在 1939 年电影绿野仙踪中，稻草人从巫师那里获得大脑后，背诵了以下扭曲（且不正确）形式的勾股定理：“任何等腰三角形任意两边平方根的和等于剩余边的平方根。” 在电视剧辛普森一家的第五季中，Homer J. Simpson 重复了稻草人的台词（Pickover 2002，第 341 页）。在电视剧数字追凶第二季的 "Obsession" (2006) 这一集中，查理在讨论篮球框时使用的方程式包括勾股定理的公式。

PythagThDissec

阿拉伯数学家萨比特·伊本·库拉 (Thabit ibn Kurrah) (Ogilvy 1994, Frederickson 1997) 给出了一个巧妙的分割证明，它将两个小正方形重新组合成一个大正方形。

PythagoreanThPerigal
PythagoreanTheoremTri

另一个分割证明归功于佩里加尔（左图；Pergial 1873；Dudeney 1958；Madachy 1979；Steinhaus 1999，第 4-5 页；Ball 和 Coxeter 1987）。 使用右侧上图可以完成一个相关的证明，其中大正方形的面积是一个三角形的面积的四倍加上内部正方形的面积。 从图中，d=b-a，因此

A=4(1/2ab)+d^2
(2)
=2ab+(b-a)^2
(3)
=2ab+b^2-2ab+a^2
(4)
=a^2+b^2
(5)
=c^2.
(6)
PythagThBhaskra

印度数学家婆什迦罗使用上图构建了一个证明，另一个漂亮的分割证明如下所示（Gardner 1984，第 154 页）。

PythagThTriBox
c^2+4(1/2ab)=(a+b)^2
(7)
c^2+2ab=a^2+2ab+b^2
(8)
c^2=a^2+b^2.
(9)
PythagoreanTheoremShear

存在几种优美且直观的剪切证明（Gardner 1984，第 155-156 页；Project Mathematics!）。

也许最著名的证明是欧几里得的几何证明（Tropfke 1921ab；Tietze 1965，第 19 页），尽管它既不是最简单的也不是最明显的。 欧几里得的证明使用了下图，该图有时被称为新娘椅、孔雀尾或风车。 哲学家叔本华将这个证明描述为“巧妙的悖论”（Schopenhauer 1977；Gardner 1984，第 153 页）。

PythagoreanTheorem

设 DeltaABC 为一个直角三角形， square CAFG， square CBKH 和 square ABED 为正方形，且 CL∥BE。 三角形 DeltaFAB 和 DeltaCAD 除了旋转外是等价的，因此

2DeltaFAB=2DeltaCAD.
(10)

剪切这些三角形会得到另外两个等价的三角形

2DeltaCAD=ADLM.
(11)

因此，

square ACGF=ADLM.
(12)

同样地，

square BC=2DeltaABK=2DeltaBCE=BL
(13)

所以

a^2+b^2=cx+c(c-x)=c^2.
(14)

希罗证明了 AK、CL 和 BF 交于一点（Dunham 1990，第 48-53 页）。

三角形面积的希罗公式隐含了勾股定理。 使用以下形式

K=1/4sqrt(2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-(a^4+b^4+c^4))
(15)

并等同于面积

K=1/2ab
(16)

得到

1/4a^2b^2=1/(16)[2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-(a^4+b^4+c^4)].
(17)

重新排列和简化得到

a^2+b^2=c^2,
(18)

勾股定理，其中 K 是边长为 a、b 和 c 的三角形的面积（Dunham 1990，第 128-129 页）。

PythagoreanTheoremTrap

美国后来的总统詹姆斯·加菲尔德 (James Garfield)（1876 年）在众议院任职期间发现了一种使用梯形的新颖证明（Gardner 1984，第 155 页和 161 页；Pappas 1989，第 200-201 页；Bogomolny）。

A_(trapezoid)=1/2sum[bases] ·[altitude]
(19)
=1/2(a+b)(a+b)
(20)
=1/2ab+1/2ab+1/2c^2.
(21)

重新排列，

1/2(a^2+2ab+b^2)=ab+1/2c^2
(22)
a^2+2ab+b^2=2ab+c^2
(23)
a^2+b^2=c^2.
(24)

一个代数证明（不会被希腊人接受）使用了欧拉公式。 设三角形的边长为 a、b 和 c，直角三角形的垂直边沿实轴和虚轴对齐。 那么

a+bi=ce^(itheta).
(25)

取复共轭得到

a-bi=ce^(-itheta).
(26)

将 (25) 乘以 (26) 得到

a^2+b^2=c^2
(27)

(Machover 1996)。

PythagoreanTheoremSim

另一个代数证明通过相似性进行。 具有边长 x、a 和 d 的直角三角形（左图中的小三角形；在右图中重现）与具有边长 d、b 和 y 的直角三角形（左图中的大三角形；在中间图中重现）相似。 在上左图中设 c=x+y，则得到

x/a=a/c
(28)
y/b=b/c
(29)

所以

a^2=cx
(30)
b^2=cy
(31)

和

a^2+b^2=c(x+y)=c^2
(32)

（Gardner 1984，第 155 页和 157 页）。 由于这个证明依赖于潜在的无理数的比例，并且不能直接转化为几何构造，因此它不被欧几里得认为是有效的。

另请参阅

新娘椅, de Gua 定理, 余弦定理, 孔雀尾, 毕达哥拉斯定理, 勾股数, 直角三角形, 风车 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Ball, W. W. R. 和 Coxeter, H. S. M. Mathematical Recreations and Essays, 13th ed. 纽约: Dover, pp. 87-88, 1987。Bogomolny, A. "Pythagorean Theorem." http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml。Brodie, S. E. "The Pythagorean Theorem Is Equivalent to the Parallel Postulate." http://cut-the-knot.org/triangle/pythpar/PTimpliesPP.html。Dixon, R. "The Theorem of Pythagoras." §4.1 in Mathographics. 纽约: Dover, pp. 92-95, 1991。Dudeney, H. E. Amusements in Mathematics. 纽约: Dover, p. 32, 1958。Dunham, W. "Euclid's Proof of the Pythagorean Theorem." Ch. 2 in Journey through Genius: The Great Theorems of Mathematics. 纽约: Wiley, 1990。Frederickson, G. Dissections: Plane and Fancy. 纽约: Cambridge University Press, pp. 28-29, 1997。Friedrichs, K. O. From Pythagoras to Einstein. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., 1965。Gardner, M. "The Pythagorean Theorem." Ch. 16 in The Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American. Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 152-162, 1984。Garfield, J. A. "Pons Asinorum." New England J. Educ. 3, 161, 1876。Kern, W. F. 和 Bland, J. R. Solid Mensuration with Proofs, 2nd ed. 纽约: Wiley, p. 3, 1948。Loomis, E. S. The Pythagorean Proposition: Its Demonstrations Analyzed and Classified and Bibliography of Sources for Data of the Four Kinds of "Proofs," 2nd ed. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1968。Machover, M. "Euler's Theorem Implies the Pythagorean Proposition." Amer. Math. Monthly 103, 351, 1996。Madachy, J. S. Madachy's Mathematical Recreations. 纽约: Dover, p. 17, 1979。Ogilvy, C. S. Excursions in Mathematics. 纽约: Dover, p. 52, 1994。Pappas, T. "The Pythagorean Theorem," "A Twist to the Pythagorean Theorem," 和 "The Pythagorean Theorem and President Garfield." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 4, 30, 和 200-201, 1989。Parthasarathy, K. R. "An n-Dimensional Pythagoras Theorem." Math. Scientist 3, 137-140, 1978。Perigal, H. "On Geometric Dissections and Transformations." Messenger Math. 2, 103-106, 1873。Pickover, C. A. "The Scarecrow Formula." Ch. 103 in The Mathematics of Oz: Mental Gymnastics from Beyond the Edge. 纽约: Cambridge University Press, pp. 217-218 和 341, 2002。Project Mathematics. "The Theorem of Pythagoras." Videotape. http://www.projectmathematics.com/pythag.htm。Schopenhauer, A. The World as Will and Idea, 3 vols. 纽约: AMS Press, 1977。Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. 纽约: Chelsea, pp. 123-127, 1993。Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. 纽约: Dover, 1999。Talbot, R. F. "Generalizations of Pythagoras' Theorem in n Dimensions." Math. Scientist 12, 117-121, 1987。Tietze, H. Famous Problems of Mathematics: Solved and Unsolved Mathematics Problems from Antiquity to Modern Times. 纽约: Graylock Press, p. 19, 1965。Tropfke, J. Geschichte der Elementar-Mathematik, Band 1. 柏林: p. 97, 1921a。Tropfke, J. Geschichte der Elementar-Mathematik, Band 4. 柏林: pp. 135-136, 1921b。Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. 伦敦: Penguin, pp. 202-207, 1991。Yancey, B. F. 和 Calderhead, J. A. "New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem." Amer. Math. Monthly 3, 65-67, 110-113, 169-171, 和 299-300, 1896。Yancey, B. F. 和 Calderhead, J. A. "New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem." Amer. Math. Monthly 4, 11-12, 79-81, 168-170, 250-251, 和 267-269, 1897。Yancey, B. F. 和 Calderhead, J. A. "New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem." Amer. Math. Monthly 5, 73-74, 1898。Yancey, B. F. 和 Calderhead, J. A. "New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem." Amer. Math. Monthly 6, 33-34 和 69-71, 1899。

请引用本文为

韦斯stein, Eric W. "勾股定理。" 来自 MathWorld——Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/PythagoreanTheorem.html

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