爱因斯坦求和

爱因斯坦求和是一种 符号约定，用于简化包括 求和 的表达式，这些求和涉及 向量、矩阵 和一般 张量。爱因斯坦求和符号基本上有三个规则，即

1. 重复指标被隐式地求和。

2. 每个指标在任何一项中最多出现两次。

3. 每项必须包含相同的非重复指标。

以上列表中的第一项可以用来极大地简化和缩短涉及 张量 的方程。例如，使用爱因斯坦求和，

(1)

并且

(2)

列表中的第二项和第三项表明表达式

(3)

是有效的，而表达式

(4)

并且

(5)

是无效的，因为索引 在 () 的第一项中出现三次，而 () 的第一项中的非重复指标 与第二项的非重复指标 不匹配。

这个约定由爱因斯坦 (1916, sec. 5) 引入，他后来向一位朋友开玩笑说：“我在数学上取得了一项伟大的发现；我每次都省略了求和符号，只要必须对出现两次的指标进行求和……” (Kollros 1956; Pais 1982, p. 216)。

在实践中，该约定倾向于与 克罗内克 delta 和 置换符号 一起出现。此外，爱因斯坦求和约定可以轻松地容纳 逆变 和 协变张量 的上标和下标。