积分

术语“积分”在数学中可以指代许多不同的概念。最常见的含义是微积分的基本对象，对应于对无穷小片段求和以找到连续区域的内容。“积分”的其他用途包括始终取整数值的值（例如，整嵌入，整图），整数形成基本示例的数学对象（例如，整环），以及方程的特定值（例如，积分曲线）。

在微积分中，积分是一个数学对象，可以解释为面积或面积的推广。积分与导数一起，是微积分的基本对象。积分的其他词语包括反导数和原函数。计算积分的过程称为积分（积分的更古老术语是求积法），积分的近似计算称为数值积分。

黎曼积分是最简单的积分定义，也是物理学和初等微积分中通常遇到的唯一积分定义。事实上，根据 Jeffreys 和 Jeffreys（1988，第 29 页），“似乎在物理学中，这些方法[即，黎曼积分的推广]适用而黎曼[积分定义]不适用的情况太罕见了，以至于不值得付出额外的努力。”

函数在上从到的黎曼积分写为

(1)

请注意，如果，则积分简写为

(2)

而不是。

每个积分的定义都基于特定的测度。例如，黎曼积分基于若尔当测度，而勒贝格积分基于勒贝格测度。此外，根据上下文，可以使用各种其他积分符号。例如，可积函数在集合上的勒贝格积分，该集合对于测度是可测的，通常写为

(3)

如果 () 中的集合是一个区间，则通常采用 (2) 中的“下标-上标”表示法。黎曼积分的另一个推广是斯蒂尔吉斯积分，其中定义在闭区间上的被积函数可以对定义在上的实值有界函数进行积分，其结果形式为

(4)

或等效地

(5)

在微分几何研究中，符号可能改变的另一种情况出现了，在整个研究中，被积函数被认为更一般的微分k-形式，并且可以使用以下等效符号在集合上进行积分

(6)

其中是上述勒贝格测度。值得注意的是，方程 () 左侧的符号与上面表达式 () 中的符号相似。

（黎曼）积分分为两类：定积分，例如 (5)，它们具有上限和下限，以及不定积分，例如

(7)

它们在书写时没有极限。第一个微积分基本定理允许根据不定积分计算定积分，因为如果是的不定积分，则

(8)

更重要的是，第一个微积分基本定理可以更一般地用微分形式（如上面的 () 中）重写，以说明微分形式在某个可定向流形的边界上的积分等于的外微分在内部上的积分，即

(9)

以这种形式书写，第一个微积分基本定理被称为斯托克斯定理。

由于常数的导数为零，不定积分仅在任意积分常数的范围内定义，即

(10)

Wolfram Research 维护了一个网站 http://integrals.wolfram.com/，可以找到许多常见（和不太常见）函数的不定积分。

对积分求导会产生一些有用且强大的恒等式。例如，如果是连续的，则

(11)

这是第一个微积分基本定理。其他导数-积分恒等式包括

(12)

莱布尼茨积分法则

(13)

（Kaplan 1992，第 275 页），其推广形式

(14)

（Kaplan 1992，第 258 页），以及

(15)

通过在 (15) 的左侧应用 (14) 并使用分部积分可以看出。

其他积分恒等式包括

(16)

(17)

			(18)
			(19)

以及有趣的积分恒等式

(20)

其中是任何函数，并且

(21)

只要且是实数（Glasser 1983）。

具有有理指数的积分通常可以通过替换来求解，其中是指数的分母的最小公倍数。