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切比雪夫-高斯求积

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切比雪夫-高斯求积，也称为切比雪夫求积，是区间 [-1,1] 上，权重函数 为 W(x)=(1-x^2)^(-1/2) 的 高斯求积 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 889)。求积阶数 n 的 横坐标 由第一类 切比雪夫多项式 T_n(x) 的根给出，这些根关于 0 对称出现。权重 为

w_i=-(A_(n+1)gamma_n)/(A_nT_n^'(x_i)T_(n+1)(x_i))
(1)
=(A_n)/(A_(n-1))(gamma_(n-1))/(T_(n-1)(x_i)T_n^'(x_i)),
(2)

其中 A_n 是 系数 x^n 在 T_n(x) 中的系数，

gamma_n=A_npi(x),
(3)

且 pi(x) 是阶数为 n 的 拉格朗日插值多项式，用于 T_n(x)。

对于第一类切比雪夫多项式，

A_n=2^(n-1),
(4)

因此

(A_(n+1))/(A_n)=2.
(5)

此外，

gamma_n=1/2pi,
(6)

因此

w_i=-pi/(T_(n+1)(x_i)T_n^'(x_i)).
(7)

由于

T_n(x)=cos(ncos^(-1)x),
(8)

横坐标 由下式显式给出

x_i=cos[((2i-1)pi)/(2n)].
(9)

由于

T_n^'(x_i)=((-1)^(i+1)n)/(sinalpha_i)
(10)
T_(n+1)(x_i)=(-1)^isinalpha_i,
(11)

其中

alpha_i=((2i-1)pi)/(2n),
(12)

所有的权重为

w_i=pi/n.
(13)

显式公式为

int_(-1)^1(f(x)dx)/(sqrt(1-x^2))=pi/nsum_(k=1)^nf[cos((2k-1)/(2n)pi)]+(2pi)/(2^(2n)(2n)!)f^((2n))(xi).
(14)

以下两个表给出了前几个点和权重的数值和解析值。

nx_iw_i
2+/-0.7071071.5708
301.0472
+/-0.8660251.0472
4+/-0.3826830.785398
+/-0.923880.785398
500.628319
+/-0.5877850.628319
+/-0.9510570.628319
2+/-1/2sqrt(2)1/2pi
301/3pi
3+/-1/2sqrt(3)1/3pi
4+/-1/2sqrt(2-sqrt(2))1/4pi
4+/-1/2sqrt(2+sqrt(2))1/4pi
501/5pi
5+/-1/2sqrt(1/2(5-sqrt(5)))1/5pi
5+/-1/2sqrt(1/2(5+sqrt(5)))1/5pi

另请参阅

高斯求积

使用 探索

参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编辑). 数学函数手册：公式、图表和数学表，第 9 次印刷。 New York: Dover, p. 889, 1972.Bronwin, B. "论从级数的特定值确定任何正弦和余弦级数中变量角的倍数的系数。" Phil. Mag. 34, 260-268, 1849.Hildebrand, F. B. 数值分析导论。 New York: McGraw-Hill, pp. 330-331, 1956.Tchebicheff, P. "关于求积法。" J. de math. pures appliq. 19, 19-34, 1874.Whittaker, E. T. 和 Robinson, G. "切比雪夫公式。" §79 在 观测演算：数值数学专著，第 4 版。 New York: Dover, pp. 158-159, 1967.

在 中引用

切比雪夫-高斯求积

请引用为

Weisstein, Eric W. “切比雪夫-高斯求积。” 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Chebyshev-GaussQuadrature.html

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