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不定积分

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形式为如下的积分

intf(z)dz,
(1)

即，没有上限和下限的积分，也称为原函数。微积分第一基本定理允许使用不定积分计算定积分。 特别是，该定理指出，如果 F 是复函数 f(z) 的不定积分，则

int_a^bf(z)dz=F(b)-F(a).
(2)

这个结果，虽然在初等微积分课程中很早就教授了，但实际上是一个非常深刻的结果，它连接了纯代数的不定积分和纯分析（或几何）的定积分。不定积分在 Wolfram 语言 中实现为Integrate[f, z].

由于常数的导数为零，任何常数都可以加到原函数上，并且仍然对应于相同的积分。 另一种表述方式是，原函数是导数的非唯一逆函数。 因此，不定积分通常写成如下形式

intf(z)dz=F(z)+C,
(3)

其中 C 是任意常数，称为积分常数。 Wolfram 语言 返回的不定积分不包含显式的积分常数。 这意味着，根据被积函数的形式，可以获得相差一个常数（或更一般地，分段常数函数）的原函数 F_1 和 F_2。 这也意味着Integrate[f+g, z] 可能与Integrate[f, z] +Integrate[g, z] 相差一个任意的（分段）常数。

请注意，代数定义的不定积分处理的是复数。 然而，许多初等微积分教科书编写的公式例如

int(dx)/x=ln|x|
(4)

（其中符号 x 用于表示 x 假设为实数）而不是复变量版本

int(dz)/z=lnz,
(5)

其中 z 通常是复数（但也适用于实数 z）。 定义一种“仅实数”的不定积分可能是为了让学生可以使用黎曼积分应用微积分第一基本定理并获得正确的答案，同时完全避免使用复分析、多值函数等。（但应该注意的是，微积分第一基本定理仅在被积函数在积分区间上连续时才适用，因此必须附加规定 int_a^bdx/x=[ln|x|]_b^a 只能在区间 [a,b] 不包含 0 的情况下应用。）

然而，这项工作（和 Wolfram 语言）避开了“仅实数”的定义，因为包含绝对值意味着不定积分对于通用的复变量 z 不再有效（|z| 的存在意味着 柯西-黎曼方程 不再成立），并且也违反了不定积分的纯代数定义。 由于物理问题涉及定积分，因此坚持使用通常的复数/代数不定积分定义更为明智。 换句话说，虽然 黎曼积分

int_(-2)^(-1)(dx)/x=[ln|x|]_(-2)^(-1)=0-ln2=-ln2
(6)

给出正确的答案（并且在此过程中避免了复数），复积分也是如此

int_(-2)^(-1)(dz)/z=[lnz]_(-2)^(-1)=(ipi)-(ipi+ln2)=-ln2,
(7)

而后者保留了通用性的优点，同时让学生为强大的复分析工具做好准备，他们应该了解复分析，并且无论如何可能很快就会学到。

刘维尔证明了积分

inte^(-x^2)dx, int(e^(-x))/xdx, int(sinx)/xdx, int(cosx)/xdx, int(dx)/(lnx)
(8)

不能用有限数量的初等函数表示。 这些产生了函数

erf(x)=2/(sqrt(pi))inte^(-x^2)dx
(9)
Ei(x)=int(e^x)/xdx
(10)
Si(x)=int(sinx)/xdx
(11)
Ci(x)=int(cosx)/xdx
(12)
li(x)=int(dx)/(lnx)
(13)

（Havil 2003，第 105 页），分别称为 误差函数 (erf)、指数积分、正弦积分、余弦积分 和 对数积分。 任何 R(x)e^x 形式的函数的积分，其中 R(x) 是有理函数，都可以简化为初等积分和函数 Ei(x) (Havil 2003, 第 106 页)。

其他不可约积分包括

intx^xdx, intx^(-x)dx, intsqrt(sinx)dx, intsqrt(cosx)dx, intsqrt(lnx)dx, inte^(e^x)dx, intlnlnxdx,
(14)

（参见 Marchisotto 和 Zakeri 1994），其中最后几个可以写成闭合形式为

intsqrt(sinx)dx=-2E(1/4(pi-2x),sqrt(2))
(15)
intsqrt(cosx)dx=2E(1/2x,sqrt(2))
(16)
intsqrt(lnx)dx=-1/2sqrt(pi)erfi(sqrt(lnx))+xsqrt(lnx)
(17)
inte^(e^x)dx=Ei(e^x)
(18)
intln(lnx)dx=xlnlnx-li(x),
(19)

其中 E(x,k) 是第二类椭圆积分，erfi(x) 是 虚误差函数，Ei(x) 是 指数积分。

切比雪夫证明，如果 U、V 和 W 是有理数，则

intx^U(A+Bx^V)^Wdx
(20)

可以用初等函数积分，当且仅当 (U+1)/V、W 或 W+(U+1)/V 是整数时（Ritt 1948，Shanks 1993）。

对于一般输入，积分是符号数学软件的一个棘手问题。 事实上，许多简单的不定积分，例如

int[d/(dz)Li_2(zlnz)]dz =-int[((lnz+1)ln(1-zlnz))/(zlnz)]dz int[d/(dz)(1/2sqrt(pi)erf(az)erf(bz))]dz =int[be^(-b^2z^2)erf(az)+ae^(-a^2z^2)erf(bz)]dz,
(21)

其中 Li_2(z) 是双对数函数，即使是最先进的软件系统也无法完成，包括 Wolfram 语言。

下面总结了一些幂函数的不定积分

intz^rdz=(z^(r+1))/(r+1)+C
(22)
int(dz)/z=lnz+C
(23)
inta^zdz=(a^z)/(lna)+C,
(24)

三角函数

intsinzdz=-cosz+C
(25)
intcoszdz=sinz+C
(26)
inttanzdz=ln(secz)+C
(27)
intcsczdz=ln(cscz-cotz)+C
(28)
=ln[tan(1/2z)]+C
(29)
=1/2ln((1-cosz)/(1+cosz))+C
(30)
intseczdz=ln(secz+tanz)+C
(31)
=ln[(cos(1/2z)+sin(1/2z))/(cos(1/2z)-sin(1/2z))]
(32)
=gd^(-1)(z)+C
(33)
intcotzdz=ln(sinz)+C,
(34)

三角函数的组合

intsin^2zdz=1/2z-1/4sin(2z)+C
(35)
intcos^2zdz=1/2z+1/4sin(2z)+C
(36)
inttan^2zdz=tanz-z+C
(37)
intsec^2zdz=tanz+C
(38)
intcsc^2zdz=-cotz+C
(39)
intcot^2zdz=-cotz-z+C
(40)
intsecztanzdz=secz+C,
(41)

反三角函数

intcos^(-1)zdz=zcos^(-1)z-sqrt(1-z^2)+C
(42)
intsin^(-1)zdz=zsin^(-1)z+sqrt(1-z^2)+C
(43)
inttan^(-1)zdz=ztan^(-1)z-1/2ln(1+z^2)+C,
(44)

二阶有理函数和平方根

int(dz)/(sqrt(a^2-z^2))=sin^(-1)(z/a)+C
(45)
int(dz)/(sqrt(a^2-z^2))=-cos^(-1)(z/a)+C
(46)
int(dz)/(a^2+z^2)=1/atan^(-1)(z/a)+C
(47)
int(dz)/(a^2+z^2)=-1/acot^(-1)(z/a)+C
(48)
int(dz)/(zsqrt(z^2-a^2))=1/asec^(-1)(z/a)+C
(49)
int(dz)/(zsqrt(z^2-a^2))=-1/acsc^(-1)(z/a)+C,
(50)

雅可比椭圆函数

intsn(u,k)du=k^(-1)ln[dn(u,k)-kcn(u,k)]+C
(51)
intcn(u,k)du=k^(-1)sin^(-1)[ksn(u,k)]+C
(52)
intdn(u,k)du=sin^(-1)sn(u,k)+C
(53)
=am(u,k)+C,
(54)

以及雅可比椭圆函数的平方

intsn^2(u,k)du=(u-E(u,k))/(k^2)+C.
(55)

这里，sinz 是正弦函数； cosz 是余弦函数； tanz 是正切函数； cscz 是余割函数； secz 是正割函数； cotz 是余切函数； cos^(-1)z 是反余弦函数； sin^(-1)z 是反正弦函数； tan^(-1) 是反正切函数； snu、cnu 和 dnu 是雅可比椭圆函数； am(u,k) 是雅可比幅度函数； E(u) 是第二类完全椭圆积分； gd(z) 是古德曼函数。 a 假设为实数且为正数，k 是模数。

为了推导 (◇)，令 u=cosz，所以 du=-sinzdz 并且

inttanzdz=int(sinz)/(cosz)dz
(56)
=-int(du)/u
(57)
=-lnu+C
(58)
=-ln(cosz)+C
(59)
=ln(cosz)^(-1)+C
(60)
=ln(secz)+C.
(61)

为了推导 (◇)，令 u=cscz-cotz，所以 du=(csc^2z-csczcotz)dz 并且

intcsczdz=intcscz(cscz-cotz)/(cscz-cotz)dz
(62)
=int(csc^2z-cotzcscz)/(cscz-cotz)dz
(63)
=int(du)/u
(64)
=lnu+C
(65)
=ln(cscz-cotz)+C.
(66)

为了推导 (◇)，令

u=secz+tanz,
(67)

所以

du=(secztanz+sec^2z)dz
(68)

并且

intseczdz=intsecz(secz+tanz)/(secz+tanz)dz
(69)
=int(sec^2z+secztanz)/(secz+tanz)dz
(70)
=int(du)/u=lnu+C
(71)
=ln(secz+tanz)+C.
(72)

为了推导 (◇)，令 u=sinz，所以 du=coszdz 并且

intcotzdz=int(cosz)/(sinz)dz
(73)
=int(du)/u
(74)
=lnu+C
(75)
=ln(sinz)+C.
(76)

另请参阅

微积分, 积分常数, 路径积分, 定积分, 微积分基本定理, 积分, 黎曼积分 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考资料

Boros, G. and Moll, V. Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2004.Havil, J. Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.Marchisotto, E. A. and Zakeri, G.-A. "An Invitation to Integration in Finite Terms." College Math. J. 25, 295-308, 1994.Ritt, J. F. Integration in Finite Terms: Liouville's Theory of Elementary Methods. New York: Columbia University Press, 1948.Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory, 4th ed. New York: Chelsea, 1993.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

不定积分

引用为

Weisstein, Eric W. "不定积分。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/IndefiniteIntegral.html

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