高斯求积

旨在通过选择最优横坐标 来获得积分的最佳数值估计，在这些横坐标处评估函数 。高斯求积基本定理 指出， 点高斯求积 公式 的最优 横坐标 正好是对于相同区间和 权函数 的正交 多项式 的根。 高斯求积是最优的，因为它精确地拟合了所有高达 次的多项式。 从 Radau 求积 和 Laguerre-Gauss 求积 获得稍逊的最优拟合。

	区间	是...的根
1

为了确定对应于高斯横坐标 的权重，通过令以下公式计算 的拉格朗日插值多项式

(1)

（其中 Chandrasekhar 1967 使用 代替 ），因此

(2)

然后通过 个点拟合拉格朗日插值多项式得到

(3)

对于任意点 。 因此，我们正在寻找一组点 和权重 ，使得对于 权函数 ，

			(4)
			(5)

其中 权重

(6)

权重 有时也称为 Christoffel 数 (Chandrasekhar 1967)。 对于 正交多项式 ，其中 , ..., ,

(7)

(Hildebrand 1956, p. 322)，其中 是 在 中的 系数，那么

			(8)
			(9)

其中

(10)

使用关系式

(11)

(Hildebrand 1956, p. 323) 给出

(12)

（注意 Press et al. 1992 省略了因子 。） 在高斯求积中，权重均为 正数。 误差由下式给出

			(13)
			(14)

其中 (Hildebrand 1956, pp. 320-321)。

其他有趣的恒等式是

(15)

和

			(16)
			(17)

(Hildebrand 1956, p. 323)。

在 Szegö (1975) 的 符号 中，令 是 中的有序点集，令 , ..., 是一组 实数。 如果 是 闭区间 上的任意函数，则将高斯求积写为

(18)

这里 是 横坐标， 是 Cotes 数。