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埃尔米特-高斯求积

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埃尔米特-高斯求积，也称为埃尔米特求积，是在区间 (-infty,infty) 上，以权重函数 W(x)=e^(-x^2) 的高斯求积 (Abramowitz and Stegun 1972, p. 890)。阶数为 n 的求积的横坐标由埃尔米特多项式 H_n(x) 的根 x_i 给出，这些根关于 0 对称分布。权重为

w_i=-(A_(n+1)gamma_n)/(A_nH_n^'(x_i)H_(n+1)(x_i))
(1)
=(A_n)/(A_(n-1))(gamma_(n-1))/(H_(n-1)(x_i)H_n^'(x_i)),
(2)

其中 A_n 是 x^n 在 H_n(x) 中的 系数。对于 埃尔米特多项式，

A_n=2^n,
(3)

因此

(A_(n+1))/(A_n)=2.
(4)

此外，

gamma_n=sqrt(pi)2^nn!,
(5)

因此

w_i=-(2^(n+1)n!sqrt(pi))/(H_(n+1)(x_i)H_n^'(x_i))
(6)
=(2^n(n-1)!sqrt(pi))/(H_(n-1)(x_i)H_n^'(x_i))
(7)
=(2^(n+1)n!sqrt(pi))/([H_n^'(x_i)]^2)
(8)
=(2^(n+1)n!sqrt(pi))/([H_(n+1)(x_i)]^2)
(9)
=(2^(n-1)n!sqrt(pi))/(n^2[H_(n-1)(x_i)]^2),
(10)

其中 (8) 和 (9) 使用了 递推关系

H_n^'(x)=2nH_(n-1)(x)=2xH_n(x)-H_(n+1)(x)
(11)

得到

H_n^'(x_i)=2nH_(n-1)(x_i)=-H_(n+1)(x_i),
(12)

并且 (10) 来自 Abramowitz 和 Stegun (1972 p. 890)。

误差项为

E=(n!sqrt(pi))/(2^n(2n)!)f^((2n))(xi).
(13)

Beyer (1987) 给出了阶数高达 n=12 的横坐标和权重的表格。

nx_iw_i
2+/-0.7071070.886227
301.18164
+/-1.224740.295409
4+/-0.5246480.804914
+/-1.650680.0813128
500.945309
+/-0.9585720.393619
+/-2.020180.0199532

对于较小的 n 值，横坐标和权重可以通过解析方法计算。

nx_iw_i
2+/-1/2sqrt(2)1/2sqrt(pi)
302/3sqrt(pi)
+/-1/2sqrt(6)1/6sqrt(pi)
4+/-sqrt((3-sqrt(6))/2)(sqrt(pi))/(4(3-sqrt(6)))
+/-sqrt((3+sqrt(6))/2)(sqrt(pi))/(4(3+sqrt(6)))

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 页 890, 1972.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 页 464, 1987.Hildebrand, F. B. Introduction to Numerical Analysis. New York: McGraw-Hill, 页 327-330, 1956.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

埃尔米特-高斯求积

请引用为

Weisstein, Eric W. "埃尔米特-高斯求积。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Hermite-GaussQuadrature.html

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