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切比雪夫求积

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一种类似于高斯求积的公式，用于数值估计积分。它在区间 [-1,1] 中使用权重函数 W(x)=1 并强制所有权重相等。通用公式是

int_(-1)^1f(x)dx=2/nsum_(i=1)^nf(x_i),
(1)

其中，横坐标 x_i 通过取麦克劳林级数中高达 y^n 的项来找到

s_n(y)=exp{1/2n[-2+ln(1-y)(1-1/y)+ln(1+y)(1+1/y)]},
(2)

然后定义

G_n(x)=x^ns_n(1/x).
(3)

根 G_n(x) 然后给出横坐标。前几个值是

G_0(x)=1
(4)
G_1(x)=x
(5)
G_2(x)=1/3(3x^2-1)
(6)
G_3(x)=1/2(2x^3-x)
(7)
G_4(x)=1/(45)(45x^4-30x^2+1)
(8)
G_5(x)=1/(72)(72x^5-60x^3+7x)
(9)
G_6(x)=1/(105)(105x^6-105x^4+21x^2-1)
(10)
G_7(x)=1/(6480)(6480x^7-7560x^5+2142x^3-149x)
(11)
G_8(x)=1/(42525)(42525x^8-56700x^6+20790x^4-2220x^2-43)
(12)
G_9(x)=1/(22400)(22400x^9-33600x^7+15120x^5-2280x^3+53x)
(13)

(OEIS A002680 和 A101270)。

由于根仅在 n<=7 和 n=9 时都是实数 (Hildebrand 1956)，因此这些是切比雪夫求积法唯一允许的阶数。误差项是

E_n={c_n(f^((n+1))(xi))/((n+1)!) n odd; c_n(f^((n+2))(xi))/((n+2)!) n even,
(14)

其中

c_n={int_(-1)^1xG_n(x)dx n odd; int_(-1)^1x^2G_n(x)dx n even.
(15)

c_n 的前几个值是 2/3, 8/45, 1/15, 32/945, 13/756 和 16/1575 (Hildebrand 1956)。Beyer (1987) 给出了高达 n=7 的横坐标，Hildebrand (1956) 给出了高达 n=9 的横坐标。

nx_i
2+/-0.57735
30
+/-0.707107
4+/-0.187592
+/-0.794654
50
+/-0.374541
+/-0.832497
6+/-0.266635
+/-0.422519
+/-0.866247
70
+/-0.323912
+/-0.529657
+/-0.883862
90
+/-0.167906
+/-0.528762
+/-0.601019
+/-0.911589

对于小的 n，横坐标和权重可以解析计算。

nx_i
2+/-1/3sqrt(3)
30
+/-1/2sqrt(2)
4+/-sqrt((sqrt(5)-2)/(3sqrt(5)))
+/-sqrt((sqrt(5)+2)/(3sqrt(5)))
50
+/-1/2sqrt((5-sqrt(11))/3)
+/-1/2sqrt((5+sqrt(11))/3)

另请参阅

高斯求积, 洛巴托求积

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Beyer, W. H. CRC 标准数学表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 466, 1987.Hildebrand, F. B. 数值分析导论。 New York: McGraw-Hill, pp. 345-351, 1956.Salzer, H. E. "便于使用切比雪夫求积公式的表格。" J. Math. Phys. 26, 191-194, 1947.Sloane, N. J. A. “整数序列在线百科全书”中的序列 A002680/M2261 和 A101270。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

切比雪夫求积

请引用为

Weisstein, Eric W. “切比雪夫求积。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ChebyshevQuadrature.html

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