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牛顿-柯特斯公式

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牛顿-柯特斯公式是一类极其有用且直接的数值积分技术。

要对函数 f(x) 在区间 [a,b] 上积分，将其分成 n 等份，使得 f_n=f(x_n) 且 h=(b-a)/n。然后找到逼近列表函数的多项式，并对它们进行积分以逼近曲线下的面积。要找到拟合多项式，请使用拉格朗日插值多项式。所得公式称为牛顿-柯特斯公式，或求积公式。

如果区间 [x_1,x_n] 包含在拟合中，则牛顿-柯特斯公式可以是“闭型”的；如果使用点 [x_2,x_(n-1)]，则是“开型”的；或者是这两者的变体。如果公式使用 n 个点（闭型或开型），则项的系数之和为 n-1。

如果函数 f(x) 是显式给出的，而不是简单地在值 x_i 处列表，则最佳的数值积分方法称为高斯求积。通过选择对函数进行采样的区间，此过程产生更精确的近似值（但实现起来要复杂得多）。

TrapezoidalRule

2 点闭型牛顿-柯特斯公式称为梯形法则，因为它通过一个具有水平底边和倾斜顶部的梯形（连接端点 x_1 和 x_2）来近似曲线下的面积。如果第一个点是 x_1，则另一个端点将位于

x_2=x_1+h,
(1)

并且通过点 (x_1,f_1) 和 (x_2,f_2) 的拉格朗日插值多项式是

P_2(x)=(x-x_2)/(x_1-x_2)f_1+(x-x_1)/(x_2-x_1)f_2
(2)
=(x-x_1-h)/(-h)f_1+(x-x_1)/hf_2
(3)
=x/h(f_2-f_1)+(f_1+(x_1)/hf_1-(x_1)/hf_2).
(4)

在区间上积分（即，找到梯形的面积）然后给出

int_(x_1)^(x_2)f(x)dx=int_(x_1)^(x_1+h)P_2(x)dx
(5)
=1/(2h)(f_2-f_1)[x^2]_(x_1)^(x_2)+(f_1+(x_1)/hf_1-(x_1)/hf_2)[x]_(x_1)^(x_2)
(6)
=1/(2h)(f_2-f_1)(x_2+x_1)(x_2-x_1)+(x_2-x_1)(f_1+(x_1)/hf_1-(x_1)/hf_2)
(7)
=1/2(f_2-f_1)(2x_1+h)+f_1h+x_1(f_1-f_2)
(8)
=x_1(f_2-f_1)+1/2h(f_2-f_1)+hf_1-x_1(f_2-f_1)
(9)
=1/2h(f_1+f_2)-1/(12)h^3f^('')(xi).
(10)

这是梯形法则（Ueberhuber 1997, p. 100），最后一项给出误差量（由于 x_1<=xi<=x_2，因此不比此范围内 f^('')(xi) 的最大值更差）。

3 点规则称为辛普森法则。横坐标是

x_2=x_1+h
(11)
x_3=x_1+2h
(12)

并且拉格朗日插值多项式是

P_3(x)=((x-x_2)(x-x_3))/((x_1-x_2)(x_1-x_3))f_1+((x-x_1)(x-x_3))/((x_2-x_1)(x_2-x_3))f_2+((x-x_1)(x-x_2))/((x_3-x_1)(x_3-x_2))f_3
(13)
=(x^2-x(x_2+x_3)+x_2x_3)/(h(2h))f_1+(x^2-x(x_1+x_3)+x_1x_3)/(h(-h))f_2+(x^2-x(x_1+x_2)+x_1x_2)/(2h(h))f_3
(14)
=1/(h^2){x^2(1/2f_1-f_2+1/2f_3)+x[-1/2(2x_1+3h)f_1+(2x_1+2h)f_2-1/2(2x_1+h)f_3]+[1/2(x_1+h)(x_1+2h)f_1-x_1(x_1+2h)f_2+1/2x_1(x_1+h)f_3]}.
(15)

积分和简化后得到

int_(x_1)^(x_3)f(x)dx=int_(x_1)^(x_1+2h)P_3(x)dx=1/3h(f_1+4f_2+f_3)-1/(90)h^5f^((4))(xi)
(16)

(Ueberhuber 1997, p. 100)。

4 点闭型规则是辛普森 3/8 法则，

int_(x_1)^(x_4)f(x)dx=3/8h(f_1+3f_2+3f_3+f_4)-3/(80)h^5f^((4))(xi)
(17)

(Ueberhuber 1997, p. 100)。5 点闭型规则是布尔法则，

int_(x_1)^(x_5)f(x)dx=2/(45)h(7f_1+32f_2+12f_3+32f_4+7f_5)-8/(945)h^7f^((6))(xi)
(18)

(Abramowitz and Stegun 1972, p. 886)。更高阶的规则包括 6 点

int_(x_1)^(x_6)f(x)dx=5/(288)h(19f_1+75f_2+50f_3+50f_4+75f_5+19f_6)-(275)/(12096)h^7f^((6))(xi),
(19)

7 点

int_(x_1)^(x_7)f(x)dx=1/(140)h(41f_1+216f_2+27f_3+272f_4 +27f_5+216f_6+41f_7)-9/(1400)h^9f^((8))(xi),
(20)

8 点

int_(x_1)^(x_8)f(x)dx=7/(17280)h(751f_1+3577f_2+1323f_3+2989f_4+2989f_5+1323f_6+3577f_7+751f_8)-(8183)/(518400)h^9f^((8))(xi),
(21)

9 点

int_(x_1)^(x_9)f(x)dx=4/(14175)h(989f_1+5888f_2-928f_3+10496f_4-4540f_5+10496f_6-928f_7+5888f_8+989f_9)-(2368)/(467775)h^(11)f^((10))(xi)
(22)

(Ueberhuber 1997, p. 100), 10 点

int_(x_1)^(x_(10))f(x)dx=9/(89600)h[2857(f_1+f_(10))+15741(f_2+f_9)+1080(f_3+f_8)+19344(f_4+f_7)+5778(f_5+f_6)]-(173)/(14620)h^(11)f^((10))(xi),
(23)

和 11 点

int_(x_1)^(x_(11))f(x)dx=5/(299376)h[16067(f_1+f_(11))+106300(f_2+f_(10))-48525(f_3+f_9)+272400(f_4+f_8)-260550(f_5+f_7)+427368f_6]-(1346350)/(326918592)h^(13)f^((12))(xi)
(24)

规则。

一般来说，n 点规则由解析表达式给出

int_(x_1)^(x_n)f(x)dx=hsum_(i=1)^nH_(n,i)f_i,
(25)

其中

H_(n,r+1)=((-1)^(n-r))/(r!(n-r)!)int_0^nt(t-1)...(t-r+1)(t-r-1)...(t-n)dt
(26)

(Whittaker and Robinson 1967, p. 154)。这给出了下表所示的系数三角形（OEIS A093735 和 A093736）。

n\r012345
11/21/2
21/34/31/3
33/89/89/83/8
4(14)/(45)(64)/(45)8/(15)(64)/(45)(14)/(45)
5(95)/(288)(125)/(96)(125)/(144)(125)/(144)(125)/(96)(95)/(288)

注意

sum_(r=0)^nH_(n,r+1)=n,
(27)

闭型“扩展”规则使用较低阶闭型规则的多个副本，以构建更高阶的规则。通过适当地调整此过程，可以构建具有特别良好属性的规则。对于 n 个列表点，使用梯形法则 (n-1) 次并添加结果得到

int_(x_1)^(x_n)f(x)dx=(int_(x_1)^(x_2)+int_(x_2)^(x_3)+...+int_(x_(n-1))^(x_n))f(x)dx =1/2h[(f_1+f_2)+(f_2+f_3)+...+(f_(n-2)+f_(n-1))+(f_(n-1)+f_n)] =h(1/2f_1+f_2+f_3+...+f_(n-2)+f_(n-1)+1/2f_n)-1/(12)nh^3f^('')(xi)
(28)

(Ueberhuber 1997, p. 107)。在扩展梯形法则上使用一系列改进给出了称为龙贝格积分的方法。对于奇数 n，3 点扩展规则是

int_(x_1)^(x_n)f(x)dx=h[(1/3f_1+4/3f_2+1/3f_3)+(1/3f_3+4/3f_4+1/3f_5)+...+(1/3f_(n-4)+4/3f_(n-3)+1/3f_(n-2))+(1/3f_(n-2)+4/3f_(n-1)+1/3f_n)] =1/3h(f_1+4f_2+2f_3+4f_4+2f_5+...+4f_(n-1)+f_n)-(n-1)/21/(90)h^5f^((4))(xi).
(29)

应用辛普森 3/8 法则，然后两次应用辛普森法则（3 点），并相加得到

[int_(x_1)^(x_4)+int_(x_4)^(x_6)+int_(x_6)^(x_8)]f(x)dx =h[(3/8f_1+9/8f_2+9/8f_3+3/8f_4)+(1/3f_4+4/3f_5+1/3f_6)+(1/3f_6+4/3f_7+1/3f_8)] =h[3/8f_1+9/8f_2+9/8f_3+(3/8+1/3)f_4+4/3f_5+(1/3+1/3)f_6+4/3f_7+1/3f_8] =h(3/8f_1+9/8f_2+9/8f_3+(17)/(24)f_4+4/3f_5+2/3f_6+4/3f_7+1/3f_8).
(30)

接下来取辛普森 3/8 步得到

int_(x_8)^(x_(11))f(x)dx=h(3/8f_8+9/8f_9+9/8f_(10)+3/8f_(11)).
(31)

与之前的结果结合得到

int_(x_1)^(x_(11))f(x)dx=h[3/8f_1+9/8f_2+9/8f_3+(17)/(24)f_4+4/3f_5+2/3f_6+4/3f_7+(1/3+3/8)f_8+9/8f_9+9/8f_(10)+3/8f_(11)] =h(3/8f_1+9/8f_2+9/8f_3+(17)/(24)f_4+4/3f_5+2/3f_6+4/3f_7+(17)/(24)f_8+9/8f_9+9/8f_(10)+3/8f_(11)),
(32)

其中直到 f_(10) 的项现在已完全确定。继续得到

h(3/8f_1+9/8f_2+9/8f_3+(17)/(24)f_4+4/3f_5+2/3f_6+...+2/3f_(n-5)+4/3f_(n-4)+(17)/(24)f_(n-3)+9/8f_(n-2)+9/8f_(n-1)+3/8f_n).
(33)

现在与 3 点结果平均

h(1/3f_1+4/3f_2+2/3f_3+4/3f_4+2/3f_5+4/3f_(n-1)+1/3f_n)
(34)

得到

h[(17)/(48)f_1+(59)/(48)f_2+(43)/(48)f_3+(49)/(48)f_4+(f_5+f_6+...+f_(n-5)+f_(n-4))+(49)/(48)f_(n-3)+(43)/(48)f_(n-2)+(59)/(48)f_(n-1)+(17)/(48)f_n]+O(n^(-4)).
(35)

请注意，所有中间项现在都具有单位系数。同样，将 3 点规则与 (2+3) 点规则结合得到

h(5/(12)f_1+(13)/(12)f_2+f_3+f_4+...+f_(n-3)+f_(n-2)+(13)/(12)f_(n-1)+5/(12)f_n)+O(n^(-3)).
(36)

其他偶尔遇到的牛顿-柯特斯规则包括杜兰德法则

int_(x_1)^(x_n)f(x)dx=h(2/5f_1+(11)/(10)f_2+f_3+...+f_(n-2)+(11)/(10)f_(n-1)+2/5f_n)
(37)

(Beyer 1987), 哈迪法则

int_(x_0-3h)^(x_0+3h)f(x)dx=1/(100)h(28f_(-3)+162f_(-2)+22f_0+162f_2+28f_3) +9/(1400)h^7[2f^((4))(xi_2)-h^2f^((8))(xi_1)],
(38)

和韦德尔法则

int_(x_1)^(x_7)f(x)dx=3/(10)h(f_1+5f_2+f_3+6f_4+f_5+5f_6+f_7)
(39)

(Beyer 1987)。

开型牛顿-柯特斯规则使用积分区间外的点，产生 1 点

int_(x_0)^(x_2)f(x)dx=2hf_1,
(40)

2 点

int_(x_0)^(x_3)f(x)dx=int_(x_1-h)^(x_1+2h)P_2(x)dx
(41)
=1/(2h)(f_2-f_1)[x^2]_(x_1-h)^(x_1+2h)+(f_1+(x_1)/hf_1-(x_1)/hf_2)[x]_(x_1-h)^(x_1+2h)
(42)
=3/2h(f_1+f_2)+1/4h^3f^('')(xi),
(43)

3 点

int_(x_0)^(x_4)f(x)dx=4/3h(2f_1-f_2+2f_3)+(28)/(90)h^5f^((4))(xi),
(44)

4 点

int_(x_0)^(x_5)f(x)dx=5/(24)h(11f_1+f_2+f_3+11f_4)+(95)/(144)h^5f^((4))(xi),
(45)

5 点

int_(x_0)^(x_6)f(x)dx=6/(20)h(11f_1-14f_2+26f_3-14f_4+11f_5)-(41)/(140)h^7f^((6))(xi),
(46)

6 点

int_(x_0)^(x_7)f(x)dx=7/(1440)h(611f_1-453f_2+562f_3+562f_4-453f_5+611f_6)-(5257)/(8640)h^7f^((6))(xi),
(47)

和 7 点

int_(x_0)^(x_8)f(x)dx=8/(945)h(460f_1-954f_2+2196f_3-2459f_4+2196f_5-954f_6+460f_7)-(3956)/(14175)h^9f^((8))(xi)
(48)

规则。

2 点开型扩展公式是

int_(x_1)^(x_n)f(x)dx=h[(1/2f_1+f_2+...+f_(n-1)+1/2f_n)+1/(24)(-f_0+f_2+f_(n-1)-f_(n+1))]+(11(n+1))/(720)h^5f^((4))(xi).
(49)

单区间外推规则基于区间周围的点估计区间内的积分。这种规则的一个例子是

hf_1+O(h^2f^')
(50)
1/2h(3f_1-f_2)+O(h^3f^(''))
(51)
1/(12)h(23f_1-16f_2+5f_3)+O(h^4f^((3)))
(52)
1/(24)h(55f_1-59f_2+37f_3-9f_4)+O(h^5f^((4))).
(53)

另请参阅

布尔法则, 差分方程, 杜兰德法则, 有限差分, 高斯求积, 哈迪法则, 拉格朗日插值多项式, 数值积分, 肖维尔顿法则, 辛普森法则, 辛普森 3/8 法则, 梯形法则, 韦德尔法则, 伍尔豪斯公式

使用 探索

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Integration." §25.4 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 885-887, 1972.Beyer, W. H. (Ed.). CRC 标准数学表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 127, 1987.Corbit, D. "Numerical Integration: From Trapezoids to RMS: Object-Oriented Numerical Integration." Dr. Dobb's J., No. 252, 117-120, Oct. 1996.Daniell, P. J. "Remainders in Interpolation and Quadrature Formulae." Math. Gaz. 24, 238, 1940.Fornberg, B. "Calculation of Weights in Finite Difference Formulas." SIAM Rev. 40, 685-691, 1998.Hildebrand, F. B. 数值分析导论。 New York: McGraw-Hill, pp. 160-161, 1956.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Classical Formulas for Equally Spaced Abscissas." §4.1 in FORTRAN 数值秘籍：科学计算的艺术，第 2 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 124-130, 1992.Sloane, N. J. A. Sequences A093735 and A093736 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Ueberhuber, C. W. 数值计算 2：方法、软件和分析。 Berlin: Springer-Verlag, 1997.Whittaker, E. T. and Robinson, G. "The Newton-Cotes Formulae of Integration." §76 in 观测微积分：数值数学专著，第 4 版。 New York: Dover, pp. 152-156, 1967.

在 中被引用

牛顿-柯特斯公式

引用为

Weisstein, Eric W. “牛顿-柯特斯公式”。来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Newton-CotesFormulas.html

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