外微分

函数 的外微分是 一形式

(1)

用 坐标图 表示。 将函数视为零形式，外微分线性扩展到所有 微分 k-形式，使用公式

(2)

当 是一个 -形式，其中 是 楔积。

一个 -形式的外微分是一个 -形式。 例如，对于一个 微分 k-形式

(3)

外微分是

(4)

类似地，考虑

(5)

那么

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用以下符号表示外微分

(8)

那么对于 0-形式 ，

(9)

对于 1-形式 ，

(10)

以及对于 2-形式 ，

(11)

其中 是 排列张量。

总是成立 。 当 时，则 被称为 闭形式。 一个 顶维形式 总是 闭形式。 当 时，则 被称为 恰当形式，因此任何 恰当形式 也是 闭形式。 一个不是 恰当形式 的 闭形式 的例子是圆上的 。 由于 是一个定义到 的常数倍的函数， 是一个 良定义 的 一形式，但没有函数使得它是外微分。

外微分是线性的，并且与 拉回 微分 k-形式 可交换。 也就是说，

(12)

因此，闭形式的拉回是闭形式，恰当形式的拉回是恰当形式。 此外，一个 de Rham 上同调 类 具有 良定义 的 拉回映射 。