形式积分

一个 微分k-形式 可以在一个 维 流形 上积分。最基本的例子是一个在 维 单位开球中的 -形式 。由于 是一个 顶维形式，它可以被写作 ，因此

(1)

其中该积分是 勒贝格积分。

在一个被 坐标图 覆盖的 流形 上，存在一个 单位分解 使得

1. 的 支集 在 中，并且

2. .

然后

(2)

其中右侧是 良定义的，因为每次积分都在一个 坐标图 中进行。 -形式 的积分是 良定义的，因为在坐标变换 下，积分根据 雅可比矩阵 的行列式进行变换，而一个 -形式通过 雅可比矩阵 的行列式拉回。因此，

(3)

在任一 坐标图 中，积分都是相同的。

例如，有可能在 球面 上积分 2-形式

(4)

由于一个点具有 零测度，在 上积分 就足够了， 可以被 球极投影 覆盖。 由于

(5)

拉回映射 是

(6)

在 上的积分是

(7)

请注意，通过 斯托克斯定理，这个计算可以更轻松地完成，因为 。