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Jacobi-Gauss 正交

Jacobi-Gauss 正交，也称为 Jacobi 正交或 Mehler 正交，是区间 [-1,1] 上关于 权重函数 的 高斯正交。

W(x)=(1-x)^alpha(1+x)^beta.
(1)

阶数为 n 的正交的横坐标 由 雅可比多项式 P_n^((alpha,beta))(x) 的根给出。权重为

w_i=-(A_(n+1)gamma_n)/(A_nP_n^((alpha,beta))^'(x_i)P_(n+1)^((alpha,beta))(x_i))
(2)
=(A_n)/(A_(n-1))(gamma_(n-1))/(P_(n-1)^((alpha,beta))(x_i)P_n^((alpha,beta))^'(x_i)),
(3)

其中 A_n 是 系数 x^n 在 P_n^((alpha,beta))(x) 中的系数。对于 雅可比多项式，

A_n=(Gamma(2n+alpha+beta+1))/(2^nn!Gamma(n+alpha+beta+1)),
(4)

其中 Gamma(z) 是 伽玛函数。此外，

gamma_n=1/(2^(2n)(n!)^2)(2^(2n+alpha+beta+1)n!)/(2n+alpha+beta+1)(Gamma(n+alpha+1)Gamma(n+beta+1))/(Gamma(n+alpha+beta+1)),
(5)

所以

w_i=(2n+alpha+beta+2)/(n+alpha+beta+1)(Gamma(n+alpha+1)Gamma(n+beta+1))/(Gamma(n+alpha+beta+1))(2^(2n+alpha+beta+1)n!)/(V_n^'(x_i)V_(n+1)(x_i))
(6)
=(Gamma(n+alpha+1)Gamma(n+beta+1))/(Gamma(n+alpha+beta+1))(2^(2n+alpha+beta+1)n!)/((1-x_i^2)[V_n^'(x_i)]^2),
(7)

其中

V_m=P_n^((alpha,beta))(x)(2^nn!)/((-1)^n).
(8)

误差项为

E_n=(Gamma(n+alpha+1)Gamma(n+beta+1)Gamma(n+alpha+beta+1))/((2n+alpha+beta+1)[Gamma(2n+alpha+beta+1)]^2)(2^(2n+alpha+beta+1)n!)/((2n)!)f^((2n))(xi)
(9)

（Hildebrand 1956）。

使用 探索

参考文献

Hildebrand, F. B. 数值分析导论。 New York: McGraw-Hill, pp. 331-334, 1956.

在 上引用

Jacobi-Gauss 正交

引用为

Weisstein, Eric W. "Jacobi-Gauss Quadrature." 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Jacobi-GaussQuadrature.html

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