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Radau 求积

一种类似于高斯求积的公式，用于数值估计积分。它需要 m+1 个点，并拟合所有次数为 2m 的多项式，因此它有效地精确拟合所有次数为 2m-1 的多项式。它使用权重函数 W(x)=1，其中区间 [-1,1] 中的端点 -1 包含在总共 n 个求积节点中，从而给出 r=n-1 个自由求积节点。通用公式为

int_(-1)^1f(x)dx=w_1f(-1)+sum_(i=2)^nw_if(x_i).
(1)

自由求积节点 x_i 对于 i=2, ..., n 是多项式的根

(P_(n-1)(x)+P_n(x))/(1+x),
(2)

其中 P(x) 是勒让德多项式。

w_i=(1-x_i)/(n^2[P_(n-1)(x_i)]^2)
(3)
=1/((1-x_i)[P_(n-1)^'(x_i)]^2),
(4)

自由求积节点的权重为

w_1=2/(n^2).
(5)

以及端点的权重为

E=(2^(2n-1)n[(n-1)!]^4)/([(2n-1)!]^3)f^((2n-1))(xi),
(6)

误差项由下式给出

nx_iw_i
2-10.5
0.3333331.5
3-10.222222
-0.2898981.02497
0.6898980.752806
4-10.125
-0.5753190.657689
0.1810660.776387
0.8228240.440924
5-10.08
-0.720480.446208
-0.1671810.623653
0.4463140.562712
0.8857920.287427

对于 xi in (-1,1)，求积节点和权重可以解析计算。

nx_iw_i
2-11/2
1/33/2
3-12/9
1/5(1-sqrt(6))1/(18)(16+sqrt(6))
1/5(1+sqrt(6))1/(18)(16-sqrt(6))

另请参阅

切比雪夫求积, 洛巴托求积

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (编). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. 纽约: Dover, 页. 888, 1972.Chandrasekhar, S. Radiative Transfer. 纽约: Dover, 页. 61, 1960.Hildebrand, F. B. Introduction to Numerical Analysis. 纽约: McGraw-Hill, 页. 338-343, 1956.Ueberhuber, C. W. Numerical Computation 2: Methods, Software, and Analysis. 柏林: Springer-Verlag, 页. 105, 1997.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Radau 求积

请引用为

Weisstein, Eric W. "Radau 求积." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/RadauQuadrature.html

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