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重复积分

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重复积分是对单个变量多次积分的积分（与多重积分不同，后者由对不同变量积分多次组成）。 微积分基本定理指出，如果F(x)=D^(-1)f(x)是f(x)的积分，那么

int_0^xf(t)dt=F(x)-F(0).
(1)

现在，如果F(0)=0，那么

F(x)=intf(x)dx=int_0^xf(t)dt.
(2)

通过归纳法可知，如果F(0)=F(F(0))=...=0，那么n重f(x)积分由下式给出

D^(-n)f(x)=int...int_0^x_()_(n)f(x)dx...dx_()_(n)
(3)
=int_0^x(f(t)(x-t)^(n-1))/((n-1)!)dt.
(4)

类似地，如果F(x_0)=F(F(x_0))=...=0，那么

int...int_(x_0)^x_()_(n)f(x)dx...dx_()_(n)=int_(x_0)^x(f(t)(x-t)^(n-1))/((n-1)!)dt.
(5)

另请参阅

分数阶积分, 富比尼定理, 积分, 多重积分

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参考文献

Samko, S. G.; Kilbas, A. A.; 和 Marichev, O. I. 分数阶积分与导数。 Yverdon, Switzerland: Gordon and Breach, p. 33, 1993.

在 Wolfram|Alpha 上引用

重复积分

引用为

Weisstein, Eric W. “重复积分。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/RepeatedIntegral.html

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