达布积分

达布积分，也称为达布-斯蒂尔杰斯积分，是 斯蒂尔杰斯积分 的一种变体，它被定义为下达布积分和上达布积分的共同值。

设 和 是区间 上的有界实函数，其中 是非递减的。对于由 给出的任何分割 ，设 。

下达布积分是所有以下形式的 下和 的 supremum (最小上界)

其中 表示 在区间 上的 infimum (最大下界)。

同样地，上达布积分是所有以下形式的 上和 的 infimum (最大下界)

其中 表示 在区间 上的 supremum (最小上界)。

下达布积分小于或等于上达布积分，并且达布积分是给定 下 上达布可积函数向量空间上的线性形式。

如果 ，则可以恢复达布在 1875 年提出的原始上达布积分和下达布积分。

如果 斯蒂尔杰斯积分 存在，则达布积分也存在并且具有相同的值。如果 是连续的，则这两个积分是相同的。勒贝格积分 是达布积分的重要扩展。

以下示例显示了斯蒂尔杰斯积分和达布积分之间的差异。设 ，当 时 ，当 时 ，当 时 ，当 时 。如果 2 属于所使用的分割 ，则 ，并且所有黎曼和均为 4。如果 2 不属于分割，则 ，并且黎曼和为 4 或 8。因此，达布积分 ，但黎曼积分（定义为当网格大小趋于零时黎曼和的极限）不存在。