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定积分

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定积分是一种 积分

int_a^bf(x)dx
(1)

带有上限和下限。如果 x 被限制在 实数线 上，则定积分被称为 黎曼积分（这是在基础教科书中常见的定义）。然而，一般的定积分是在复平面上取的，结果是 围道积分

int_a^bf(z)dz,
(2)

其中 a、 b 和 z 通常是复数，从 a 到 b 的积分路径被称为 围道。

微积分第一基本定理 允许定积分用 不定积分 计算，因为如果 F 是 不定积分 对于 连续函数 f(x)，则

int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a).
(3)

这个结果，虽然在基础 微积分 课程中很早就教授，但实际上是一个非常深刻的结果，它连接了纯代数的 不定积分 和纯解析（或几何）的定积分。定积分可以在 Wolfram 语言 中使用以下命令计算Integrate[f, {x, a, b}].

哪些定积分可以用 初等函数 表示的问题，目前没有任何成熟的理论可以解决。事实上，这个问题属于超越数论，似乎是“无限困难”的。例如，有些定积分等于 欧拉-马歇罗尼常数 gamma。然而，决定 gamma 是否可以用 初等函数 在有理数值处的值来表示的问题，涉及到决定 gamma 是有理数还是代数数，而这仍然是未知的。

定积分的积分规则包括

int_a^af(x)dx=0
(4)

和

int_a^bf(x)dx=-int_b^af(x)dx.
(5)

对于 c in (a,b)，

int_a^bf(x)dx=int_a^cf(x)dx+int_c^bf(x)dx.
(6)

如果 g^' 在 [a,b] 上连续，并且 f 在包含 g(x) 对于 a<=x<=b 的值的 区间 上连续且有原函数，则

int_a^bf(g(x))g^'(x)dx=int_(g(a))^(g(b))f(u)du.
(7)

沃森三重积分 是（非常）具有挑战性的 多重积分 的例子。其他具有挑战性的积分包括 艾哈迈德积分 和 阿贝尔积分。

对于一般输入，定积分是计算机数学软件包中的一个棘手问题，在应用它们进行定积分时需要谨慎。考虑以下形式的定积分

I(a)=int_0^(pi/2)(dx)/(1+(tanx)^a),
(8)

这可以通过利用三角恒等式轻松完成

tan(1/2pi-x)=cotx.
(9)

令 z=(tanx)^a，

I(a)=int_0^(pi/4)(dx)/(1+z)+int_(pi/4)^(pi/2)(dx)/(1+z)
(10)
=int_0^(pi/4)(dx)/(1+z)+int_0^(pi/4)(dx)/(1+1/z)
(11)
=int_0^(pi/4)(1/(1+z)+1/(1+1/z))dx
(12)
=int_0^(pi/4)dx
(13)
=1/4pi.
(14)

然而，许多计算机数学软件包只能针对 a 的特定值计算此积分，或者根本无法计算。另一个计算机软件包难以处理的例子是

int_(-pi)^piln[2cos(1/2x)]dx=0,
(15)

它非平凡地等于 0。

一些定积分，其中前两个归功于 Bailey 和 Plouffe (1997)，第三个归功于 Guénard 和 Lemberg (2001)，Borwein 和 Bailey (2003, p. 61) 以及 Bailey 等人 (2007, p. 62) 认为它们在 Mathematica 4.2 版本中计算的结果“技术上正确”但“没有用处”，现重现如下。更新版本的 Wolfram 语言 直接以 Borwein 和 Bailey 给出的相同简单形式返回它们，甚至不需要额外的简化

int_0^1(t^2lntdt)/((t^2-1)(t^4+1))=(pi^2(2-sqrt(2)))/(32)
(16)
=0.18067...
(17)
int_0^(pi/4)(t^2dt)/(sin^2t)=K+1/4piln2-1/(16)pi^2
(18)
=0.84351...
(19)
int_0^pi(xsinxdx)/(1+cos^2x)=1/4pi^2
(20)
=2.467401...
(21)

（OEIS A091474、A091475 和 A091476），其中 K 是 卡塔兰常数。现代版本的 Wolfram 语言 也可以轻松计算第四个挑战中提出的积分，

int_0^(pi/4)(t^3dt)/(sin^2t)=3/4piK-1/(64)pi^3+3/(32)pi^2ln2-(105)/(64)zeta(3)
(22)
=0.3429474...
(23)

（OEIS A091477），其中 zeta(3) 是 阿佩里常数。

一个漂亮的定积分，归功于 L. Glasser 和 O. Oloa（L. Glasser，私人通信，2007 年 1 月 6 日）由下式给出

int_0^(pi/2)(x^2)/(x^2+ln^2(2cosx))dx=1/8pi[1-gamma+ln(2pi)]
(24)
=0.887759656...
(25)

（OEIS A127196），其中 gamma 是 欧拉-马歇罗尼常数。这个积分（以 Oloa 最初考虑的形式）是积分类别的 n=1 情况

∮(ln^nzdz)/(zln(1+z))
(26)

Glasser 之前研究过。上面给出的闭合形式由 Glasser 和 Oloa 独立发现（L. Glasser，私人通信，2010 年 2 月 2 日；O. Oloa，私人通信，2010 年 2 月 2 日），并且结果的证明随后由 Glasser 和 Manna (2008) 以及 Oloa (2008) 发表。Oloa 和其他人随后研究了该积分的推广；另见 Bailey 和 Borwein (2008)。

一个有趣的积分类别是

C(a)=int_0^1(tan^(-1)(sqrt(x^2+a^2)))/(sqrt(x^2+a^2)(x^2+1))dx,
(27)

它们具有特殊值

C(0)=1/8piln2+1/2K
(28)
C(1)=1/4pi-1/2pisqrt(2)+3/2sqrt(2)tan^(-1)(sqrt(2))
(29)
C(sqrt(2))=5/(96)pi^2
(30)

（Bailey 等人 2007, pp. 42 和 60）。

一个凭经验确定的惊人积分是

2/(sqrt(3))int_0^1(ln^6xtan^(-1)((xsqrt(2))/(x-2)))/(x+1)dx=1/(81648)[-229635L_3(8)+29852550L_3(7)ln3-1632960L_3(6)pi^2+27760320L_3(5)zeta(3)-275184L_3(4)pi^4+36288000L_3(3)zeta(5)-30008L_3(2)pi^6-57030120L_3(1)zeta(7)],
(31)

其中

L_3(s)=sum_(n=1)^(infty)1/((3n-2)^s)-1/((3n-1)^s)
(32)
=1/(3^s)[zeta(s,1/3)-zeta(s,2/3)]
(33)

（Bailey 等人 2007, p. 61）。

一个看似复杂的有理函数定积分，但具有简单解，由下式给出

int_0^infty(x^8-4x^6+9x^4-5x^2+1)/(x^(12)-10x^(10)+37x^8-42x^6+26x^4-8x^2+1)dx =1/2pi
(34)

（Bailey 等人 2007, p. 258）。

另一个具有挑战性的积分是勒洛四面体的体积积分，

V=int_0^1[(8sqrt(3))/(1+3t^2)-(16sqrt(2)(3t+1)(4t^2+t+1)^(3/2))/((3t^2+1)(11t^2+2t+3)^2)-(sqrt(2)(249t^2+54t+65))/((11t^2+2t+3)^2)]dt,
(35)
=8/3pi-(27)/4cos^(-1)(1/3)+1/4sqrt(2)
(36)
=0.4221577...
(37)

（OEIS A102888; Weisstein）。

看起来相似的被积函数可能会提供非常不同的结果，正如以下一对优美的式子所示

int_(-infty)^infty(dx)/((e^x-x+1)^2+pi^2)=1/2
(38)
int_(-infty)^infty(dx)/((e^x-x)^2+pi^2)=1/(1+W(1))
(39)
=0.638103743...
(40)

归功于 V. Adamchik（OEIS A115287; Moll 2006; 错别字已更正），其中 W(1) 是 欧米伽常数，W(z) 是 兰伯特 W 函数。这些可以使用围道积分计算。

计算机数学软件包也经常返回比实际需要复杂得多的结果。这种类型的一个例子由以下积分提供

phi(alpha)=int_0^piln(1-2alphacosx+alpha^2)dx=2piln|alpha|
(41)

对于 alpha in R 和 |alpha|>1，这可以通过简单应用 莱布尼茨积分法则 (Woods 1926, pp. 143-144) 得到。

有多种 数值积分 方法可用。关于这些技术的优秀资源包括 Press 等人 (1992) 和 Hildebrand (1956)。最直接的数值积分技术使用 牛顿-科特斯公式（也称为求积公式），该公式通过各种阶数的多项式逼近在等间隔 区间 序列处列表的函数。如果端点被列表，则 2 点和 3 点公式分别称为 梯形法则 和 辛普森法则。5 点公式称为 布尔法则。梯形法则 的推广是 龙贝格积分，它可以以更少的函数评估次数产生准确的结果。

如果已知函数的解析形式（而不是仅仅在固定数量的点处列出其值），则最佳的数值积分方法称为 高斯求积。通过选择计算函数的最佳 横坐标，高斯求积可以产生最精确的近似值。然而，考虑到现代计算机的速度，高斯求积 形式主义的额外复杂性通常使其不如暴力方法，即简单地重复计算正则网格上两倍的点，直到获得收敛。关于 高斯求积 的一个优秀参考文献是 Hildebrand (1956)。

1996 年 6 月 2 日比尔·阿门德 (Bill Amend) 的漫画《福克斯楚步》(FoxTrot) (Amend 1998, p. 19; Mitchell 2006/2007) 以以下定积分作为“难题”考试题，原 intended 用于补习班，但意外地发给了普通班

int_0^(2pi)int_0^(pi/4)int_0^4(rhocosphi)rho^2sinphidrhodphidtheta=32pi.
(42)

该积分对应于在开口角为 pi/2 和半径为 4 的 球锥 上积分。然而，尚不清楚被积函数在物理上代表什么（它类似于惯性矩的计算，但这会给出因子 (rhosinphi)^2 而不是给定的 rhocosphi）。

FoxTrot by Bill Amend, June 2, 1996 strip. Reproduced with permission of the author.

另请参阅

阿贝尔积分, 艾哈迈德积分, 微积分, 围道积分, 富比尼定理, 微积分基本定理, 反常积分, 不定积分, 无穷余弦积积分, 积分, 反误差函数, 对数伽玛函数, 数值积分, 累次积分, 黎曼积分, 瓦尔迪积分 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Amend, B. Camp FoxTrot. Kansas City, MO: Andrews McMeel, p. 19, 1998.Bailey, D. and Borwein, J. "Computer-Assisted Discovery and Proof." Tapas in Experimental Mathematics (Ed. T. Amdeberhan and V. H. Moll). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 21-52, 2008.Bailey, D. H.; Borwein, J. M.; Calkin, N. J.; Girgensohn, R.; Luke, D. R.; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Wellesley, MA: A K Peters, 2007.Bailey, D. and Plouffe, S. "Recognizing Numerical Constants." Organic Mathematics. Proceedings of the Workshop Held in Burnaby, BC, December 12-14, 1995 (Ed. J. Borwein, P. Borwein, L. Jörgenson, and R. Corless). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 73-88, 1997. http://www.cecm.sfu.ca/organics/papers/bailey/.Boros, G. and Moll, V. Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2004.Borwein, J. and Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery. Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Glasser, M. L. and Manna, D. "On the Laplace Transform of the Psi Function." In Tapas in Experimental Mathematics (Ed. T. Amdeberhan and V. H. Moll). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 205-214, 2008.Guénard, F. and Lemberg, H. La méthode expérimentale en mathématiques. Heidelberg, Germany: Springer-Verlag, 2001.Hildebrand, F. B. Introduction to Numerical Analysis. New York: McGraw-Hill, pp. 319-323, 1956.Mitchell, C. W. Jr. In "Media Clips" (Ed. M. Cibes and J. Greenwood). Math. Teacher 100, 339, Dec. 2006/Jan. 2007.Moll, V. H. "Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals." MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006. http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/Moll-MAA.pdf.Oloa, O. "Some Euler-Type Integrals and a New Rational Series for Euler's Constant." In Tapas in Experimental Mathematics (Ed. T. Amdeberhan and V. H. Moll). Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 253-264, 2008.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Integration of Functions." Ch. 4 in Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 123-158, 1992.Sloane, N. J. A. Sequences A091474, A091475, A091476, A091477, A102888, A115287, and A127196 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Woods, F. S. Advanced Calculus: A Course Arranged with Special Reference to the Needs of Students of Applied Mathematics. Boston, MA: Ginn, 1926.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

定积分

请引用为

Weisstein, Eric W. “定积分”。来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/DefiniteIntegral.html

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