微分 k-形式

微分 -形式是 张量，其 张量秩 为 ，并且在任意一对指标交换下是 反对称 的。在 维空间中，代数独立 分量的数量由 二项式系数 给出。特别地，一次形式 （通常简称为“微分”）是一个量

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其中 , ..., , , ..., 是 协变张量 的分量。从 更改变量到 得到

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其中

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这是协变变换定律。

-交替多重线性形式 在 向量空间 上对应于 的一个元素，即 对偶向量空间 到 的 阶 外幂。 -形式在 流形 上是 向量丛 的 丛截面，即 余切丛 的 阶 外幂。因此，可以用坐标写出 -形式：

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其中 遍历 个元素从 的所有递增子集，并且 是函数。

微分形式上的一个重要运算，外微分，用于著名的 斯托克斯定理 中。外微分 对 形式运算的结果是 -形式。事实上，根据定义，如果 是坐标函数，被视为 零形式，那么 。

形式的另一个重要运算是 楔积，或外积。如果 是 -形式，而 是 -形式，则 是 形式。此外，-形式可以与 -向量（即 的 丛截面）进行 缩并，得到 -形式，或者如果 ，则得到 -向量。如果流形具有 度量，则存在一个与外积对偶的运算，称为 内积。

在更高维度中，存在更多种类的微分形式。例如，在 切空间 到 上存在 零形式 1，两个 一次形式 和 ，以及一个 二次形式 。一次形式 可以唯一地写成 。在四维空间中， 是一个 二次形式，不能写成 。

写出一个形式所需的最少项数有时称为形式的秩，通常在 二次形式 的情况下。当形式的秩为一时，它被称为 可分解 的。形式的秩的另一种含义是其作为 张量 的秩，在这种情况下，-形式可以被描述为秩为 的 反对称张量，实际上是 类型。形式的秩也可以指其 形式包络 的维度，在这种情况下，秩是一个整数值函数。使用秩的后一种定义，-形式是可分解的 当且仅当 它的秩为 。

当 是 流形 的维度时， 也是 切空间 的维度。因此，-形式始终具有秩一，而对于 ，-形式必须为零。因此，-形式被称为 顶维形式。顶维形式 可以不使用 度量 进行 形式积分。因此，-形式可以在 -维 子流形 上积分。微分形式是一个 向量空间（具有 C-无穷拓扑），因此具有对偶空间。子流形通过积分表示对偶空间的一个元素，因此通常说它们位于形式的对偶空间中，即 流 的空间。使用 度量，霍奇星算子 定义了从 -形式到 -形式的映射，使得 。

当 是一个 光滑映射 时，它根据 雅可比矩阵 将 流形切向量 从 推送到 。因此， 上的微分形式拉回到 上的微分形式。

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拉回映射 是一个线性映射，它与 外微分 可交换，

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