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Lobatto 积分

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也称为 Radau 积分 (Chandrasekhar 1960)。一种 高斯积分，其 权函数 W(x)=1，其中区间 [-1,1] 的端点包含在总共 n 个节点中，给出 r=n-2 个自由节点。节点关于原点对称，通用公式是

int_(-1)^1f(x)dx=w_1f(-1)+w_nf(1)+sum_(i=2)^(n-1)w_if(x_i).
(1)

自由节点 x_i，对于 i=2, ..., n-1 是多项式 P_(n-1)^'(x) 的根，其中 P(x) 是勒让德多项式。自由节点的权重是

w_i=-(2n)/((1-x_i^2)P_(n-1)^('')(x_i)P_m^'(x_i))
(2)
=2/(n(n-1)[P_(n-1)(x_i)]^2),
(3)

端点的权重是

w_(1,n)=2/(n(n-1)).
(4)

误差项由下式给出

E=-(n(n-1)^32^(2n-1)[(n-2)!]^4)/((2n-1)[(2n-2)!]^3)f^((2n-2))(xi),
(5)

对于 xi in (-1,1)。Beyer (1987) 给出了参数表，最高到 n=11，Chandrasekhar (1960) 最高到 n=9（尽管 Chandrasekhar 对于 mu_(3,4)，m=5 是不正确的）。

nx_ix_iw_iw_i
300.000004/31.333333
+/-1+/-1.000001/30.333333
4+/-1/5sqrt(5)+/-0.4472145/60.833333
+/-1+/-1.0000001/60.166667
500.000000(32)/(45)0.711111
+/-1/7sqrt(21)+/-0.654654(49)/(90)0.544444
+/-1+/-1.0000001/(10)0.100000
6sqrt(1/(21)(7-2sqrt(7)))+/-0.2852321/(30)(14+sqrt(7))0.554858
sqrt(1/(21)(7+2sqrt(7)))+/-0.7650551/(30)(14-sqrt(7))0.378475
+/-1+/-1.0000001/(15)0.066667

另请参阅

切比雪夫积分, Radau 积分

使用 探索

参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 888-890, 1972.Beyer, W. H. CRC 标准数学表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, p. 465, 1987.Chandrasekhar, S. 辐射传输。 New York: Dover, pp. 63-64, 1960.Hildebrand, F. B. 数值分析导论。 New York: McGraw-Hill, pp. 343-345, 1956.Hunter, D. and Nikolov, G. "On the Error Term of Symmetric Gauss-Lobatto Quadrature Formulae for Analytic Functions." Math. Comput. 69, 269-282, 2000.Ueberhuber, C. W. 数值计算 2：方法、软件和分析。 Berlin: Springer-Verlag, p. 105, 1997.

在 中被引用

Lobatto 积分

请引用为

Weisstein, Eric W. "Lobatto 积分。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LobattoQuadrature.html

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