斯托克斯定理

对于 在有向 -维 带边界流形 上具有 紧支集 的 微分 (k-1)-形式 ，

(1)

其中 是微分形式 的外微分。当 是没有边界的 紧流形 时，该公式成立，且等式右侧为零。

斯托克斯定理通过以下关系与“标准”梯度、旋度和散度定理相关联。如果 是 上的函数，

(2)

其中 (对偶空间) 是 向量空间 及其对偶空间之间的对偶同构，由 上的欧几里得内积给出。 如果 是 上的向量场，

(3)

其中 是 霍奇星 算子。 如果 是 上的向量场，

(4)

考虑到这三个恒等式，上述斯托克斯定理在这三种情况下分别转化为梯度定理、旋度定理和散度定理，如下所示。 如果 是 上的函数，且 是 中的曲线，则

(5)

这就是梯度定理。 如果 是一个向量场，且 是 中带边界的嵌入紧 3-流形，则

(6)

这就是散度定理。 如果 是一个向量场，且 是 中带边界的有向、嵌入、紧 2-流形，则

(7)

这就是旋度定理。

德·拉姆上同调是使用微分 k-形式定义的。 当 是一个子流形（无边界）时，它代表一个同调类。 如果两个闭形式相差一个恰当形式，，则它们代表相同的上同调类。 因此，

(8)

因此，上同调类在同调类上的求值是良定义的。

物理学家通常将旋度定理称为

(9)

斯托克斯定理。