测度

术语“测度”、“可测”等具有非常精确的技术定义（通常涉及 σ-代数），这使得它们看起来难以理解。然而，定义的这种技术性极其重要，因为它为分析学（包括微积分的一些模糊基础）中许多概念的基础提供了坚实的基础。

例如，积分的每个定义都基于特定的测度：黎曼积分基于若尔当测度，而勒贝格积分基于勒贝格测度。对测度的研究及其在积分中的应用被称为测度论。

测度定义为从 δ-环 上的非负实函数，使得

(1)

其中 是空集，且

(2)

对于 中任何有限或可数个两两不相交的集合 的集合，使得 也属于 。

如果 是 -有限的且 是有界的，则 可以唯一地扩展为定义在由 生成的 -代数上的测度。

如果 且 是 -代数，则称 为集合 上的概率测度。

在概率测度的通常定义中（或者更精确地说，是非平凡的 -可加测度），测度是无限集 的幂集 上的实值函数 ，它满足以下性质

1. 且 ，

2. 如果 则 ，

3. 对于所有 (非平凡性)，

4. 如果 是两两不相交的，则

(3)

(Jech 1997)。

测度 可以通过完备化来扩展。测度为零的集合的子集形成一个 -环 。通过在 中的集合上“改变” 中的集合，得到一个 -环 ，它是 关于 的完备化。

如果 ，则称测度 是完备的。如果 不是完备的，则可以通过设置 将其扩展到 ，其中 且 。