微积分基本定理

微积分基本定理将导数和积分相互关联起来。这些关系既是重要的理论成就，也是实用的计算工具。虽然一些作者将这些关系视为一个由两个“部分”组成的单一定理（例如，Kaplan 1999，第 218-219 页），但每个部分更常被单独提及。

虽然术语有所不同（有时甚至会发生转置，例如，Anton 1984），但最常见的表述（例如，Apostol 1967，第 202 页）认为微积分第一基本定理，也称为“基本定理，第一部分”（例如，Sisson 和 Szarvas 2016，第 452 页），指出，对于在开区间 上的实值连续函数 和 为 中的任意数，如果 由下式定义

(1)

则

(2)

在 中的每个数处。

类似地，微积分第二基本定理的最常见表述（例如，Apostol 1967，第 205 页），也称为“基本定理，第二部分”（例如，Sisson 和 Szarvas 2016，第 456 页），指出，如果 是在闭区间 上的实值连续函数，并且 是 在 上的不定积分，则

(3)

这个结果虽然在初等微积分课程中很早就教授，但实际上是一个非常深刻的结果，它将纯粹代数的不定积分和纯粹分析（或几何）的定积分联系起来。

微积分第三基本定理适用于沿曲线的积分（即路径积分），并指出，如果 在包含参数化曲线 (对于 ) 的区域 中具有连续的不定积分 ，则

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(Krantz 1999，第 22 页)。