瑟斯顿几何化猜想

瑟斯顿猜想提出了三维流形上几何结构的完整表征。

在详细阐述瑟斯顿几何化猜想之前，一些背景信息是有用的。三维流形具有所谓的标准两级分解。首先是连通和分解，它指出每个紧三维流形都是唯一的素三维流形集合的连通和。

第二种分解是Jaco-Shalen-Johannson 环面分解，它指出不可约可定向紧 3 维流形具有规范的（直到同痕）最小的不相交嵌入不可压缩环面集合，使得由环面移除的 3 维流形的每个分量要么是“非环面的”，要么是“Seifert 纤维化的”。

瑟斯顿猜想是，在将三维流形分解为连通和和Jaco-Shalen-Johannson 环面分解之后，剩余的每个分量都恰好允许以下几何结构之一

1. 欧几里得几何，

2. 双曲几何，

3. 球面几何，

4. 几何 ,

5. 几何 ,

6. 几何 通用覆盖 李群 ,

7. 幂零几何，或

8. Sol 几何。

这里， 是 2-球面（在拓扑学家的意义上）， 是双曲平面。如果瑟斯顿猜想是正确的，那么庞加莱猜想的正确性立即成立。瑟斯顿因在证明该猜想在一部分情况下成立的工作而分享了 1982 年的菲尔兹奖。

这些几何结构中有六种现在已经得到了很好的理解，并且在双曲几何（恒定负标量曲率的几何）方面取得了很大的进展。然而，恒定正曲率的几何结构仍然知之甚少，在这种几何结构中，瑟斯顿椭圆化猜想扩展了庞加莱猜想（Milnor）。

Perelman (2002, 2003) 的成果似乎确立了几何化猜想，从而也确立了庞加莱猜想。与许多先前试图证明庞加莱猜想的手稿不同，熟悉 Perelman 工作的数学家认为这项工作经过深思熟虑，并期望很难找到任何错误（Robinson 2003）。