环面

一个（普通的）环面是 曲面，其 亏格 为 1，因此具有一个“洞”（左图）。单孔“环状”环面在较旧的文献中被称为“锚环”。它可以由一个 矩形 通过将相对边的两对粘合在一起且没有扭曲而构成（右图；Gardner 1971，第 15-17 页；Gray 1997，第 323-324 页）。嵌入三维空间的普通环面形状像甜甜圈，但环面的概念在更高维空间中也非常有用。

一般来说，环面也可以有多个孔，术语 -环面用于具有 个孔的环面。2-环面的特殊情况有时称为 双环面，3-环面称为 三环面，而通常的单孔环面则简称为“环面”或“一个环面”。

-环面的第二个定义与维度有关。在一维中，一条线弯曲成一个圆，得到 1-环面。在二维中，一个矩形包裹成一个普通的环面，也称为 2-环面。在三维中，立方体包裹形成一个 3-流形，或 3-环面。在每种情况下，-环面都是存在于 维中的对象。 维环面更常见的用途之一是在 动力系统 中。一个基本结果表明，具有 个 自由度 并拥有 个 运动积分 的 哈密顿系统 的 相空间 轨迹位于一个 维 流形 上，该流形在拓扑上等价于一个 -环面 (Tabor 1989)。

普通（单孔）环面的 环面着色 需要 7 种颜色，这与 希伍德猜想 一致。

设从孔的中心到环面管中心的半径为 ，管的半径为 。那么，关于 z 轴 方位对称的环面的 笛卡尔坐标 方程为

(1)

参数方程为

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对于 。根据 和 的相对大小，可能存在三种类型的环面，称为 标准环面。 对应于 环状环面（如上所示）， 对应于在点 (0, 0, 0) 处与自身相切的 角状环面， 对应于自相交的 纺锤环面 (Pinkall 1986)。如果没有特别说明，“环面”通常指 环状环面。

环面曲面在 Wolfram 语言 中实现为环面[x, y, z, c-a, c+a]，实心环面为实心环面[x, y, z, c-a, c+a]。

下面展示了三种 标准环面，其中第一张图像显示了完整的环面，第二张是底部一半的剖面图，第三张是穿过 z 轴 的平面的 横截面。

标准环面 及其反演是 环面族。如果 在 公式中的系数更改为 ，则会得到 椭圆环面。

要计算环状环面的度量属性，请定义内半径和外半径为

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求解 和 得到

			(7)
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那么这个环面的 表面积 是

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体积可以从 帕普斯质心定理 计算得出

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体积也可以通过积分从实心的参数方程计算出的 雅可比行列式 得到，

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简化为

(18)

得到

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如前。

质量为 的实心环面的惯性张量由下式给出

(21)

第一基本形式 的系数为

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			(23)
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第二基本形式 的系数为

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得到 黎曼度量

(28)

面积元素

(29)

（其中 是 楔积），高斯 曲率和 平均曲率 为

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			(31)

(Gray 1997，第 384-386 页)。

表面有 孔 的环面可以翻转过来，得到相同的环面。环面可以在外部或内部打结，但不能两者都打结。这两种情况是 环境同位素，但不是 正则同位素。因此，有三种可能的嵌入环面的方式，其中零个或一个 结。

环面上的任意点 （不在 -平面内）可以通过四个 圆。第一个圆在环面的平面内，第二个圆 垂直 于它。第三个和第四个 圆 称为 维拉尔索圆 (Villarceau 1848, Schmidt 1950, Coxeter 1969, Melnick 1983)。