转移函数

转移函数描述了在两个独立的、重叠的坐标图中描述对象方式的差异，其中同一集合的描述在不同的坐标系中可能会发生变化。这种情况甚至发生在欧几里得空间 中，在欧几里得空间中，通常的 、 和 轴的任何旋转都会给出另一组坐标。

例如，在球面上，位于赤道的人 可以使用通常的北方、南方、东方和西方方向，但位于北极的人 必须使用其他方向。然而， 和 都可以用他们的坐标图描述他们之间的区域。那么，转移函数将描述如何从 的坐标图转换到 的坐标图。

在流形的情况下，转移函数是从一个坐标图到另一个坐标图的映射。因此，在某种意义上，流形是由坐标图组成的，而将它们粘合在一起的胶水就是转移函数。在丛的情况下，转移函数是将平凡化粘合在一起的胶水。具体而言，在这种情况下，转移函数描述了纤维的可逆变换。

自然地，可逆变换的类型取决于丛的类型。例如，向量丛（可能是切丛）具有可逆线性转移函数。更准确地说，在重叠的坐标图 和 上，丛秩为 的向量丛的转移函数由以下函数给出

其中 是一般线性群。在 处的纤维有两种描述，而 是将一种描述映射到另一种描述的可逆线性映射。转移函数必须是一致的，其意义在于，如果从一个集合的一种描述转到另一种描述，然后再返回，那么没有任何变化。一致性的充要条件如下：给定三个重叠的图表，乘积 必须是到 中单位元的常值映射。

对于丛秩为 的向量丛，一组一致的转移函数可以解释为流形的第一个切赫上同调群的元素，其系数在 中。