切丛

每个光滑流形 都有一个切丛 ，它由所有点 在 处的切空间 组成。 由于切空间 是 在 处所有切向量的集合，因此切丛是所有切向量的集合，以及它们所切于的点的信息的集合。

(1)

切丛是向量丛的一个特例。 作为一个丛，它的丛的秩为 ，其中 是 的维数。 上的坐标图为 提供了一个平凡化。 在坐标 ) 中，向量场 ，其中 ，张成每个点（在坐标图中）的切向量。 从这些坐标到另一组坐标的过渡函数由坐标变化的雅可比矩阵给出。

例如，在单位球面上，在点 处，在同一个半球上定义了两个不同的坐标图， 和 ,

(2)

(3)

其中 和 。 坐标图之间的映射是 。

(4)

雅可比矩阵 由矩阵值函数给出

(5)

它具有行列式 ，因此在 上是可逆的。

切向量通过雅可比矩阵变换。 在 中的点 处，切向量 对应于 中 的切向量 。 这两个只是切丛的同一个元素的不同版本。