Kähler结构

在复流形 上的 Kähler 结构结合了底层实流形上的黎曼度量与复结构。这种结构将几何学和复分析结合在一起，主要的例子来自代数几何。当 具有 复维度时，它具有 实维度。Kähler 结构与酉群 相关，酉群 嵌入为保留近复结构（乘以 '’）的正交矩阵。在坐标图中， 的复结构定义了乘以 ，而度量定义了切向量的正交性。在 Kähler 流形上，这两个概念（及其导数）是相关的。

以下是 Kähler 结构的要素，每个条件都足以使 Kähler 结构存在。

1. Kähler 度量。在任何点 附近，存在全纯坐标 使得度量具有以下形式

(1)

其中 表示向量空间张量积；也就是说，它在 处消失到二阶。因此，任何仅涉及一阶导数的 中的几何方程都可以在 Kähler 流形上定义。请注意，可以使用高斯坐标系编写一个通用度量以使其消失到二阶，但不一定在全纯坐标中消失。

2. Kähler 形式 是实闭非退化的二形式，即辛形式，对于它， 对于非零切向量 。此外，它还必须满足 ，其中 是由乘以 引起的近复结构。也就是说，

(2)

和

(3)

局部地，Kähler 形式可以写成 ，其中 是一个称为Kähler 势的函数。Kähler 形式是实-复形式。

3. 埃尔米特度量 ，其中实部是Kähler 度量，如上面第 (1) 项所述，并且其中虚部是Kähler 形式，如第 (2) 项所述。

4. 度量，对于该度量，近复结构 是平行的。由于平行移动始终是等距同构，因此埃尔米特度量由从基点的路径平行移动明确定义。完整群包含在酉群中。

很容易看出，Kähler 流形的复子流形继承了其 Kähler 结构，因此也必须是 Kähler 的。主要例子来源是射影代数簇，即复射影空间的复子流形，它们是代数方程的解。

Kähler 条件有几个深刻的推论。例如，Kähler 恒等式、上同调的Hodge 分解和Lefschetz 定理依赖于紧流形的 Kähler 条件。