维度

物体的维度是其覆盖性质大小的拓扑度量。粗略地说，它是指定物体上一点所需的坐标数。例如，矩形是二维的，而立方体是三维的。物体的维度有时也称为其“维数”。

前缀“超-”通常用于指代四维（和更高维）类比于三维物体的概念，例如，超立方体，超平面。

维度的概念在数学中很重要，因为它给出了任何几何物体的概念或视觉复杂性的精确参数化。事实上，这个概念甚至可以应用于无法直接可视化的抽象物体。例如，时间的概念可以被认为是一维的，因为它可能被认为仅由“现在”、“之前”和“之后”组成。由于“之前”和“之后”，无论它们回溯到多久以前或延伸到多久以后的未来，都是延伸，时间就像一条线，一个一维物体。

要了解较低和较高维度如何相互关联，取任何几何物体（如点、线、圆、平面等），并朝相反方向“拖动”它（拖动点以追踪出线，拖动线以追踪出盒子，拖动圆以追踪出圆柱体，拖动圆盘以追踪出实心圆柱体等）。结果是物体在质量上比之前的物体“更大”，“质量”是指，无论你如何拖动原始物体，你总是追踪出相同“质量大小”的物体。点可以变成直线线、圆、螺旋线或某些其他曲线，但所有这些物体在质量上都具有相同的维度。维度的概念是为了衡量这种“质量”拓扑属性而发明的。

物体的有限集合（例如，空间中的点）被认为是 0 维的。然后，零维物体的“拖动”版本被称为一维物体。类似地，拖动一维物体的物体是二维的，依此类推。维度在数学中被形式化为拓扑空间的内在维度。此维度称为勒贝格覆盖维度（也简称为拓扑维度）。典型的例子是欧几里得 -空间 ，其拓扑维度为 。导致此结果的基本思想（包括维度不变性定理、区域不变性定理和勒贝格覆盖维度）是由庞加莱、布劳威尔、勒贝格、乌雷松和门格尔提出的。

拓扑维度的概念有几个分支和扩展。在勒贝格覆盖维度的概念中隐含着，维度在某种意义上是衡量物体填充空间程度的指标。如果它占据了很大的空间，则它是更高维度的，如果它占据的空间较小，则它是较低维度的。豪斯多夫维度（也称为分形维度）是对这个定义的微调，它允许维度不是整数的物体的概念。分形是豪斯多夫维度与其拓扑维度不同的物体。

维度的概念也用于代数学中，主要用作域上向量空间的维度。这种用法源于实数上的向量空间是最早被研究的向量空间，对于它们，它们的拓扑维度可以通过纯代数方法计算为最大线性无关子集的基数。特别地， 的子空间的维度等于生成它所需的线性无关向量的数量（即，其基中向量的数量）。给定 的变换 ，