拓扑学

拓扑学是对物体在形变、扭曲和拉伸等操作下保持不变的性质进行数学研究的学科。但是，撕裂是不允许的。一个圆在拓扑上等价于一个椭圆（可以通过拉伸变形得到），而一个球体等价于一个椭球体。类似地，时钟时针的所有可能位置的集合在拓扑上等价于一个圆（即一个可以在二维空间中嵌入的、没有交叉的一维闭合曲线），时针和分针的所有可能位置的集合在拓扑上等价于一个环面的表面（即一个可以在三维空间中嵌入的二维表面），而时针、分针和秒针的所有可能位置的集合在拓扑上等价于一个三维物体。

拓扑学的定义引出了以下数学笑话（Renteln and Dundes 2005）

问：什么是拓扑学家？答：是无法区分甜甜圈和咖啡杯的人。

但是，拓扑学的内涵远不止这些。拓扑学起源于对平面和三维空间中的曲线、曲面和其他物体的研究。拓扑学的一个核心思想是，诸如圆和球体之类的空间物体可以被视为它们自身的独立对象，并且对物体的认知独立于它们在空间中的“表示”或“嵌入”方式。例如，“如果你从一个圆中移除一个点，你会得到一条线段”这个陈述既适用于圆，也适用于椭圆，甚至适用于缠绕或打结的圆，因为该陈述仅涉及拓扑性质。

拓扑学与对空间物体的研究有关，例如曲线、曲面、我们称之为宇宙的空间、广义相对论的时空、分形、结、流形（它们与我们的宇宙具有一些相同的基本空间性质）、物理学中遇到的相空间（例如时钟指针位置的空间）、像旋转陀螺的方式集合之类的对称群等等。

拓扑学可用于抽象物体的固有连通性，同时忽略它们的详细形式。例如，上图说明了许多拓扑上不同的曲面的连通性。在这些图中，以实线绘制的平行边以箭头指示的方向相互连接，因此标有相同字母的角对应于同一点，虚线表示保持自由的边（Gardner 1971，pp. 15-17；Gray 1997，pp. 322-324）。上面的图形对应于圆盘（平面）、克莱因瓶、莫比乌斯带、实射影平面、球体、环面和管。标签通常在这样的图中被省略，因为它们通过平行线的连接以及箭头指示的方向来暗示。

拓扑学的“对象”通常被正式定义为拓扑空间。如果两个物体具有相同的拓扑性质，则称它们是同胚的（尽管严格来说，通过拉伸和扭曲物体而不被破坏的性质实际上是同痕保持的性质，而不是同胚；同痕与扭曲嵌入的对象有关，而同胚是内在的）。

大约在 1900 年，庞加莱提出了对物体拓扑的一种度量，称为同伦（Collins 2004）。特别地，如果一个数学对象可以连续变形为另一个数学对象，则称这两个数学对象是同伦的。

拓扑学可以分为代数拓扑学（包括组合拓扑学）、微分拓扑学和低维拓扑学。拓扑学的低层语言，实际上不被认为是拓扑学的一个独立“分支”，被称为点集拓扑学。

还有一种用集合运算定义的拓扑学的正式定义。一个集合 与其子集的集合 一起被称为拓扑，如果中的子集满足以下性质

1. (平凡)子集 和空集 在 中。

2. 只要集合 和 在 中，那么 也在 中。

3. 只要两个或多个集合在 中，那么它们的并集也在 中。

（Bishop 和 Goldberg 1980）。这个定义可以用来枚举 个符号上的拓扑。例如，1 阶的唯一拓扑是 ，而 2 阶的四个拓扑是 ，， 和 。基数为 ，2，... 的集合上的拓扑的数量是 1、4、29、355、6942、... (OEIS A000798)。

定义了拓扑 的集合 被称为拓扑空间（Munkres 2000，p. 76）。例如，集合 以及子集 构成一个拓扑，并且 是一个拓扑空间。

拓扑可以由拓扑基构建而成。对于实数，一个拓扑基是开区间的集合。