拓扑学

拓扑学是对物体在形变、扭曲和拉伸等操作下保持不变的性质进行数学研究的学科。但是，撕裂是不允许的。一个圆在拓扑上等价于一个椭圆（可以通过拉伸变形得到），而一个球体等价于一个椭球体。类似地，时钟时针的所有可能位置的集合在拓扑上等价于一个圆（即一个可以在二维空间中嵌入的、没有交叉的一维闭合曲线），时针和分针的所有可能位置的集合在拓扑上等价于一个环面的表面（即一个可以在三维空间中嵌入的二维表面），而时针、分针和秒针的所有可能位置的集合在拓扑上等价于一个三维物体。

拓扑学的定义引出了以下数学笑话（Renteln and Dundes 2005）

问：什么是拓扑学家？答：是无法区分甜甜圈和咖啡杯的人。

但是，拓扑学的内涵远不止这些。拓扑学起源于对平面和三维空间中的曲线、曲面和其他物体的研究。拓扑学的一个核心思想是，诸如圆和球体之类的空间物体可以被视为它们自身的独立对象，并且对物体的认知独立于它们在空间中的“表示”或“嵌入”方式。例如，“如果你从一个圆中移除一个点，你会得到一条线段”这个陈述既适用于圆，也适用于椭圆，甚至适用于缠绕或打结的圆，因为该陈述仅涉及拓扑性质。

拓扑学与对空间物体的研究有关，例如曲线、曲面、我们称之为宇宙的空间、广义相对论的时空、分形、结、流形（它们与我们的宇宙具有一些相同的基本空间性质）、物理学中遇到的相空间（例如时钟指针位置的空间）、像旋转陀螺的方式集合之类的对称群等等。

拓扑学可用于抽象物体的固有连通性，同时忽略它们的详细形式。例如，上图说明了许多拓扑上不同的曲面的连通性。在这些图中，以实线绘制的平行边以箭头指示的方向相互连接，因此标有相同字母的角对应于同一点，虚线表示保持自由的边（Gardner 1971，pp. 15-17；Gray 1997，pp. 322-324）。上面的图形对应于圆盘（平面）、克莱因瓶、莫比乌斯带、实射影平面、球体、环面和管。标签通常在这样的图中被省略，因为它们通过平行线的连接以及箭头指示的方向来暗示。

拓扑学的“对象”通常被正式定义为拓扑空间。如果两个物体具有相同的拓扑性质，则称它们是同胚的（尽管严格来说，通过拉伸和扭曲物体而不被破坏的性质实际上是同痕保持的性质，而不是同胚；同痕与扭曲嵌入的对象有关，而同胚是内在的）。

大约在 1900 年，庞加莱提出了对物体拓扑的一种度量，称为同伦（Collins 2004）。特别地，如果一个数学对象可以连续变形为另一个数学对象，则称这两个数学对象是同伦的。

拓扑学可以分为代数拓扑学（包括组合拓扑学）、微分拓扑学和低维拓扑学。拓扑学的低层语言，实际上不被认为是拓扑学的一个独立“分支”，被称为点集拓扑学。

还有一种用集合运算定义的拓扑学的正式定义。一个集合与其子集的集合一起被称为拓扑，如果中的子集满足以下性质

1. (平凡)子集和空集在中。

2. 只要集合和在中，那么也在中。

3. 只要两个或多个集合在中，那么它们的并集也在中。

（Bishop 和 Goldberg 1980）。这个定义可以用来枚举个符号上的拓扑。例如，1 阶的唯一拓扑是，而 2 阶的四个拓扑是，，和。基数为，2，... 的集合上的拓扑的数量是 1、4、29、355、6942、... (OEIS A000798)。

定义了拓扑的集合被称为拓扑空间（Munkres 2000，p. 76）。例如，集合以及子集构成一个拓扑，并且是一个拓扑空间。

拓扑可以由拓扑基构建而成。对于实数，一个拓扑基是开区间的集合。

另请参阅

代数拓扑学、微分拓扑学、亏格、同伦、克莱因瓶、结、库拉托夫斯基约简定理、莱夫谢茨迹公式、低维拓扑学、流形、莫比乌斯带、点集拓扑学、椒盐卷饼变换、球体外翻、拓扑基、拓扑空间、扎里斯基拓扑在 MathWorld 课堂中探索这个主题

使用 Wolfram|Alpha 探索

更多尝试

参考文献

Adamson, I. 一般拓扑学工作簿。 波士顿，马萨诸塞州：Birkhäuser，1996 年。Alexandrov, P. S. 拓扑学的基本概念。 纽约：多佛出版社，1961 年。Armstrong, M. A. 基础拓扑学，修订版。 纽约：施普林格出版社，1997 年。Arnold, B. H. 初等拓扑学的直观概念。 纽约：普伦蒂斯-霍尔出版社，1962 年。Barr, S. 拓扑学实验。 纽约：多佛出版社，1964 年。Berge, C. 拓扑空间，包括对多值函数、向量空间和凸性的处理。 纽约：多佛出版社，1997 年。Bishop, R. 和 Goldberg, S. 流形上的张量分析。 纽约：多佛出版社，1980 年。Blackett, D. W. 初等拓扑学：组合和代数方法。 纽约：学术出版社，1967 年。Bloch, E. 几何拓扑学和微分几何学入门课程。 波士顿，马萨诸塞州：Birkhäuser，1996 年。Brown, J. I. 和 Watson, S. "在

个点上的拓扑的补数数量至少为

（除了一些特殊情况）"。 Discr. Math. 154, 27-39, 1996.Chinn, W. G. 和 Steenrod, N. E. 拓扑学的初步概念：线段、曲线、圆和圆盘的映射几何。 华盛顿特区：美国数学协会，1966 年。Collins, G. P. "空间的形状。" Sci. Amer. 291, 94-103, 2004 年 7 月。Comtet, L. 高级组合数学：有限和无限展开的艺术，修订扩充版。 多德雷赫特，荷兰：Reidel，第 229 页，1974 年。Dugundji, J. 拓扑学。 新泽西州恩格尔伍德克利夫斯：普伦蒂斯-霍尔出版社，1965 年。Eppstein, D. "几何拓扑学。" http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/topo.html。Erné, M. 和 Stege, K. "计算有限偏序集和拓扑。" Order 8, 247-265, 1991.Evans, J. W.；Harary, F.；和 Lynn, M. S. "关于有限拓扑的计算机枚举。" Commun. ACM 10, 295-297 和 313, 1967.Francis, G. K. 拓扑学图册。 纽约：施普林格出版社，1987 年。Gardner, M. 马丁·加德纳的《科学美国人》数学游戏第六本书。 纽约：斯克里布纳出版社，1971 年。Gemignani, M. C. 初等拓扑学。 纽约：多佛出版社，1990 年。Gray, A. 带有 Mathematica 的曲线和曲面的现代微分几何学，第二版。 博卡拉顿，佛罗里达州：CRC 出版社，1997 年。Greever, J. 点集拓扑的理论和例子。 加利福尼亚州贝尔蒙特：布鲁克斯/科尔出版社，1967 年。Heitzig, J. 和 Reinhold, J. "十四个元素上未标记的序数数量。" 预印本编号：299。德国汉诺威：汉诺威大学数学研究所，1999 年。Hirsch, M. W. 微分拓扑学。 纽约：施普林格出版社，1988 年。Hocking, J. G. 和 Young, G. S. 拓扑学。 纽约：多佛出版社，1988 年。Kahn, D. W. 拓扑学：点集和代数领域的介绍。 纽约：多佛出版社，1995 年。Kelley, J. L. 一般拓扑学。 纽约：施普林格出版社，1975 年。Kinsey, L. C. 曲面的拓扑学。 纽约：施普林格出版社，1993 年。Kleitman, D. 和 Rothschild, B. L. "有限拓扑的数量。" Proc. Amer. Math. Soc. 25, 276-282, 1970.Lietzmann, W. 视觉拓扑学。 伦敦：查托和温都斯出版社，1965 年。Lipschutz, S. 一般拓扑学的理论和问题。 纽约：绍姆出版社，1965 年。Mendelson, B. 拓扑学导论。 纽约：多佛出版社，1990 年。Munkres, J. R. 初等微分拓扑学。 新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，1963 年。Munkres, J. R. 拓扑学：第一课程，第二版。 新泽西州上萨德尔河：普伦蒂斯-霍尔出版社，2000 年。Oliver, D. "GANG 图书馆。" http://www.gang.umass.edu/library/library_home.html。Praslov, V. V. 和 Sossinsky, A. B. 结、链环、辫子和 3 流形：低维拓扑中新不变量的介绍。 罗德岛州普罗维登斯：美国数学学会，1996 年。Rayburn, M. "关于有限集的博雷尔域。" Proc. Amer. Math. Soc. 19, 885-889, 1968.Renteln, P. 和 Dundes, A. "万无一失：数学民间幽默选。" Notices Amer. Math. Soc. 52, 24-34, 2005.Seifert, H. 和 Threlfall, W. 拓扑学教科书。 纽约：学术出版社，1980 年。Shafaat, A. "关于有限集可定义的拓扑数量。" J. Austral. Math. Soc. 8, 194-198, 1968.Shakhmatv, D. 和 Watson, S. "拓扑地图集。" http://at.yorku.ca/topology/。Sloane, N. J. A. 序列 A000798/M3631 在 "整数序列在线百科全书" 中。Steen, L. A. 和 Seebach, J. A. Jr. 拓扑学中的反例。 纽约：多佛出版社，1996 年。Thurston, W. P. 三维几何和拓扑学，第 1 卷。 新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，1997 年。Tucker, A. W. 和 Bailey, H. S. Jr. "拓扑学。" Sci. Amer. 182, 18-24, 1950 年 1 月。van Mill, J. 和 Reed, G. M. (编)。 拓扑学中的开放问题。 纽约：爱思唯尔出版社，1990 年。Veblen, O. 位置分析，第二版。 纽约：美国数学学会，1946 年。Weisstein, E. W. "关于拓扑学的书籍。" http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/Topology.html。

在 Wolfram|Alpha 上引用

拓扑学

引用此内容

韦斯坦因，埃里克 W. “拓扑学”。来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源。https://mathworld.net.cn/Topology.html