李群

李群是一个服从群性质并满足群运算可微性的光滑流形。

此定义与希尔伯特问题的第五个问题相关，该问题询问是否可以避免对定义连续变换群的函数的可微性假设。

李群最简单的例子是一维的。在加法下，实数线是一个李群。在选择一个特定的点作为单位元后，圆也是一个李群。圆上与单位元的角度为的另一个点，通过将圆旋转角度来作用。一般来说，李群可能具有更复杂的群结构，例如正交群 （即，正交矩阵），或一般线性群 （即，可逆矩阵）。洛伦兹群也是一个李群。

李群单位元处的切空间始终具有李代数的结构，并且这个李代数通过指数映射确定李群的局部结构。例如，函数给出了从圆的切空间（即实数）到圆的指数映射，圆被认为是中的单位圆。一个更困难的例子是从反对称 矩阵到特殊正交群 的指数映射，特殊正交群是的行列式为 1 的子集。

李群的拓扑结构相当受限。例如，总是存在非零向量场。这种结构使得有限维半单李群及其表示的完整分类成为可能。