流形切向量

粗略地说，切向量是流形上特定点的无穷小位移。点处的切向量集合形成一个向量空间，称为点处的切空间，而流形上切空间的集合形成一个向量丛，称为切丛。

流形上点处的切向量是在坐标图中点处的切向量。在附近的坐标变化会导致切向量在坐标中的表示发生可逆线性映射。这种变换由雅可比矩阵给出，在坐标变换中，雅可比矩阵必须是非奇异的。因此，点处的切向量是良定义的。向量场是为每个点分配一个切向量。切向量的集合形成切丛，而向量场是该丛的截面。

切向量用于在流形上进行微积分。由于流形是局部欧几里得的，因此在任何坐标图中，微分和积分的通常概念都是有意义的，并且可以将其推广到流形上。更具体地说，切向量是方向导数（在某一点）的流形版本。与微积分的另一种类比是相关的速度向量的概念。

关于切向量，至少有三种不同的观点。每种观点都有其优点和缺点。外在观点使用欧几里得空间的向量空间结构。将流形视为欧几里得空间的子流形，可以将切向量视为切平面或子流形切空间中的元素。在坐标图中，切向量是（图表）图表切空间中的向量，而图表切空间只是欧几里得空间的副本。

外在观点的缺点是它们依赖于嵌入或坐标图的选择。有一些方法可以从内在角度考虑切向量，将其视为抽象内在切空间的元素。从抽象的角度来看，这些方法更令人满意，但有时需要在坐标图中进行计算。

重要的是要区分点处的切向量和任何其他点处的切向量，即使它们看起来可能是平行的。在李群上，存在平行性的概念，并且存在非零向量场。一般来说，这远非事实。例如，在球体上，任何光滑向量场都必须在某处消失。

切向量更内在的几何定义是将点处的切向量视为通过点且一阶相等的路径的等价类。对于子流形，外在几何定义是将切向量视为环境空间的切向量的子空间，

代数上，流形上的向量场是光滑函数环上的导子。也就是说，向量场作用于光滑函数并满足乘积法则。向量场通过函数的方向导数作用于函数，

(1)

更准确地说，切丛是光滑函数层上的导子的拓扑层，在这种情况下，点处的切向量位于点处的层的茎中。

事实上，在坐标中，原点处切向量的标准基的符号是

(2)

其中对的导数是通常的偏导数

(3)

让基点在坐标图中变化，是向量场，但仅在此坐标图中定义。