台球

台球游戏是在一个矩形桌子上（称为台球桌）进行的，球被放置在桌子上。然后用“球杆”的末端击打一个球（“主球”），使其弹到其他球上并从桌子的侧面反射。真正的台球可能涉及旋转球，使其不沿直线运动，但台球的数学研究通常包括反射，其中反射角和入射角相同。然而，通常会考虑诸如圆形和椭圆形等奇怪的桌子形状。1959 年流行的动画短片唐老鸭在数学魔法乐园中，唐老鸭通过教程演示了如何使用通常刻在真实台球桌边缘的菱形来赢得台球比赛。

在详细研究台球轨迹时，可能会出现许多有趣的问题。例如，任何光滑平面凸集都至少有两个双法线，因此对于任何平滑弯曲的桌子，总是存在两条不同的“来回”路径。更令人惊讶的是，总是存在 个不同的 -角周期轨道在光滑的台球桌上，其中 是欧拉函数（Croft et al. 1991, p. 16）。这给出了 Steinhaus 的结果，即总是存在两个不同的周期性三角形轨道（Croft 和 Swinnerton 1963）作为特例。台球路径的分析可能涉及遍历理论和动力系统的复杂应用。

给定一个只有角袋且边长为整数长度 和 （其中 和 互质）的矩形台球桌，从一个角以 度角发射的球将在 次反弹后落入另一个角袋中（Steinhaus 1999, p. 63; Gardner 1984, pp. 211-214）。Steinhaus（1999, p. 64）还给出了一种确定如何击打台球的方法，使其在击中第二个球之前从四边反弹（Knaster 和 Steinhaus 1946，Steinhaus 1948）。

海森台球问题旨在找到圆形“台球”桌边缘的一个点，在该点必须瞄准主球，以便从桌子边缘反弹一次并击中第二个给定点的另一个球。使用圆规和直尺构造无法解决此问题（Elkin 1965，Riede 1989，Neumann 1998）。

在椭圆台球桌上，轨迹的包络线是一个较小的椭圆、双曲线、穿过椭圆焦点的直线或闭合多边形（Steinhaus 1999, pp. 239 和 241; Wagon 1991）。闭合多边形情况与彭赛列定理有关。

人们还可以考虑多边形台球桌上的台球路径。在锐角三角形中，单回路的唯一闭合台球路径是垂足三角形。存在无限数量的多回路路径，但所有线段都平行于垂足三角形的边。如果圆内接四边形的外心位于四边形内部，则在该四边形内部存在闭合台球路径（Wells 1991）。

在一个立方体的每个面上都有四个相同的闭合台球路径，并且路径上的每条腿都具有相同的长度（Hayward 1962; Steinhaus 1979, 1999; Gardner 1984, pp. 33-35; Wells 1991）。此路径呈椅子状六边形，每条腿的长度为 。对于单位立方体，这样一条路径的顶点为 (0, 2/3, 2/3), (1/3, 1, 1/3), (2/3, 2/3, 0), (1, 1/3, 1/3), (2/3, 0, 2/3), (1/3, 1/3, 1)。刘易斯·卡罗尔（查尔斯·道奇森）也考虑过这个问题（Weaver 1954）。

在一个四面体的每个面上都有三个相同的闭合台球路径，并且路径的每条腿都具有相同的长度（Gardner 1984, pp. 35-36; Wells 1991）。这些路径是由 J. H. Conway 发现的，Hayward (1962) 也独立发现了这些路径。路径的顶点是每个面平面中等边三角形的适当选择的顶点，这些顶点按 1/10 的因子缩放。对于边长为单位长度的四面体，每条腿的长度为 。对于顶点为 (0, 0, 0), (0, , ), (, 0, ), (, , 0) 的四面体，这样一条路径的顶点为 (, , ), (, , ), (, , ), (, , )。

Conway 已经证明周期轨道存在于所有四面体中，但尚不清楚在每个多面体中是否存在周期轨道（Croft et al. 1991, p. 16）。