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蝴蝶定理

ButterflyTheorem

给定圆的一条弦 PQ，画出另外两条穿过其中点的弦 AB 和 CD。将 AD 和 BC 的交点称为 PQ X 和 Y。那么 M 也是 XY 的中点。这个定理有很多证明方法，包括 W. G. Horner、Johnson (1929, p. 78) 和 Coxeter (1987, pp. 78 和 144) 的证明。后者简洁的证明采用了射影几何。

以下证明由 Coxeter 和 Greitzer (1967, p. 46) 给出。在右图中，从 X 和 Y 向 AB 作垂线 x_1 和 y_1，并从 X 和 Y 向 CD 作垂线 x_2 和 Y_2。记 a=PM=MQ，x=XM 和 y=MY，然后注意到根据相似三角形

x/y=(x_1)/(y_1)=(x_2)/(y_2)
(1)
(x_1)/(y_2)=(AX)/(CY)
(2)
(x_2)/(y_1)=(XD)/(YB),
(3)

因此

(x^2)/(y^2)=(x_1)/(y_1)(x_2)/(y_2)=(x_1)/(y_2)(x_2)/(y_1)=(AX·XD)/(CY·YB)=(PX·XQ)/(PY·YQ)
(4)
=((a-x)(a+x))/((a+y)(a-y))=(a^2-x^2)/(a^2-y^2)=(a^2)/(a^2)=1,
(5)

因此 x=y。 证毕 (Q.E.D.)

另请参阅

蝴蝶突变, 蝴蝶曲线, 蝴蝶效应, 蝴蝶函数, 蝴蝶图, 蝴蝶引理, 蝴蝶多边形, 弦, 圆, 圆内接四边形, 中点, 四边形

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参考文献

Bogomolny, A. "蝴蝶定理。" http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Butterfly.shtml.Bogomolny, A. "一个更好的蝴蝶定理。" http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/BetterButterfly.shtml.Bogomolny, A. "两个蝴蝶定理。" http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/BetterButterfly.shtml.Coxeter, H. S. M. 射影几何，第二版 纽约: 施普林格出版社, pp. 78 和 144, 1987.Coxeter, H. S. M. 和 Greitzer, S. L. "蝴蝶定理。" §2.8 in 几何再探。 华盛顿特区: 美国数学协会, pp. 45-46, 1967.Johnson, R. A. 现代几何：三角形和圆的几何学基础论著。 波士顿, 马萨诸塞州: 霍顿·米夫林出版社, p. 78, 1929.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

蝴蝶定理

引用为

Weisstein, Eric W. "蝴蝶定理。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ButterflyTheorem.html

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