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循环多边形

循环多边形是一个 多边形，其 顶点 可以 外接圆 。由于每个 三角形 都有一个 外接圆，因此每个 三角形 都是循环的。据推测，对于边数为 2m+1 的循环多边形，16K^2 (其中 K 是 面积) 满足一个 首一多项式，其次数为 Delta_m，其中

Delta_m=sum_(k=0)^(m-1)(m-k)(2m+1; k)
(1)
=1/2[(2m+1)(2m; m)-2^(2m)]
(2)

(Robbins 1995)。据推测，边数为 2m+2 的循环多边形满足两个次数为 Delta_m 的 多项式 之一。 Delta_m 的前几个值是 1, 7, 38, 187, 874, ... (OEIS A000531)。

对于 三角形 (n=3=2·1+1), 该 多项式 是 海伦公式，可以写成

16K^2=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4,
(3)

并且其关于 Delta_1=1 的阶数为 16K^2。对于 圆内接四边形，该 多项式 是 婆罗摩笈多公式，可以写成

16K^2=-a^4+2a^2b^2-b^4+2a^2c^2+2b^2c^2-c^4+8abcd+2a^2d^2+2b^2d^2+2c^2d^2-d^4,
(4)

其关于 Delta_1=1 的阶数为 16K^2。 Robbins (1995) 给出了 圆内接五边形 和 圆内接六边形 的相应 公式。

对于一组形成简单闭合多边形的 n 条边长，对于每个 n>=3，都存在一个具有这些边长的循环 n>=3-gon。此外，在这个循环多边形在所有具有相同边长的 n-gons 中具有最大的可能面积 (Demir 1966, Oxman 2024)。

参见

共圆, 圆内接六边形, 圆内接五边形, 圆内接四边形, 圆内接四边形, 日本定理, 多边形内接

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参考文献

Demir, H. "Maximum Area of a Region Bounded by a Closed Polygon With Given Sides." Math. Mag. 39, 228-231, 1966.Oxman, V. "On a Polygon Whose Side Lengths Form a Geometric Sequence." Internat. J. Math. Educ. Sci. Tech., 1-7, 2024.Robbins, D. P. "Areas of Polygons Inscribed in a Circle." Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.Robbins, D. P. "Areas of Polygons Inscribed in a Circle." Amer. Math. Monthly 102, 523-530, 1995.Sloane, N. J. A. Sequence A000531 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 上引用

循环多边形

请引用为

Weisstein, Eric W. "循环多边形。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CyclicPolygon.html

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