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欧拉砖

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EulerBrick

欧拉砖是具有整数边 a>b>c 和面部对角线的长方体

d_(ab)=sqrt(a^2+b^2)
(1)
d_(ac)=sqrt(a^2+c^2)
(2)
d_(bc)=sqrt(b^2+c^2).
(3)

如果空间对角线也是整数，则欧拉砖被称为完美长方体，尽管目前尚不知道完美长方体的例子。

最小的欧拉砖的边长为 (a,b,c)=(240,117,44)，面部多面体对角线为 d_(ab)=267、d_(ac)=244 和 d_(bc)=125，由 Halcke (1719; Dickson 2005, pp. 497-500) 发现。Kraitchik 给出了 257 个奇数边小于 100 万的长方体 (Guy 1994, p. 174)。F. Helenius 编制了 5003 个最小的（按最长边测量）欧拉砖的列表。前几个是 (240, 117, 44), (275, 252, 240), (693, 480, 140), (720, 132, 85), (792, 231, 160), ... (OEIS A031173, A031174, 和 A031175)。

18 世纪人们对这个问题非常感兴趣，Saunderson (1740) 找到了一个总是给出欧拉砖（但不是给出所有可能的欧拉砖）的参数化解，而在 1770 年和 1772 年，欧拉至少找到了两个参数化解。Saunderson 的解法让 (a^',b^',c^') 成为勾股三元组，然后

(a,b,c)=(a^'(4b^('2)-c^('2)),b^'(4a^('2)-c^('2)),4a^'b^'c^')
(4)

是一个具有面部对角线的欧拉砖

d_(ab)=c^('3)
(5)
d_(ac)=a^'(4b^('2)+c^('2))
(6)
d_(bc)=b^'(4a^('2)+c^('2)).
(7)

(Saunderson 1740; Dickson 2005, p. 497)。

另请参阅

长方体, 循环四边形, 面对角线, 海伦四面体, 海伦三角形, 平行六面体, 完美长方体, 多面体对角线, 勾股三元组, 勾股四元组, 有理距离问题, 空间对角线

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参考文献

Dickson, L. E. 数论史，卷 2：丢番图分析。 New York: Dover, 2005.Guy, R. K. "Is There a Perfect Cuboid? Four Squares Whose Sums in Pairs Are Square. Four Squares Whose Differences are Square." §D18 in 数论中的未解问题，第二版。 New York: Springer-Verlag, pp. 173-181, 1994.Halcke, P. Deliciae Mathematicae; oder, Mathematisches sinnen-confect. Hamburg, Germany: N. Sauer, p. 265, 1719.Leech, J. "The Rational Cuboid Revisited." Amer. Math. Monthly 84, 518-533, 1977. Erratum in Amer. Math. Monthly 85, 472, 1978.Peterson, I. "MathTrek: Euler Bricks and Perfect Polyhedra." Oct. 23, 1999. http://www.sciencenews.org/sn_arc99/10_23_99/mathland.htm.Sloane, N. J. A. Sequences A031173, A031174, and A031175 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Rathbun, R. L. "Integer Cuboid Search Update." 8 Jan 2001. http://listserv.nodak.edu/scripts/wa.exe?A2=ind0101&L=NMBRTHRY&P=1272.Saunderson, N. The Elements of Algebra in 10 Books, Vol. 2. Cambridge, England: University Press, pp. 429-431, 1740.Spohn, W. G. "On the Integral Cuboid." Amer. Math. Monthly 79, 57-59, 1972.Spohn, W. G. "On the Derived Cuboid." Canad. Math. Bull. 17, 575-577, 1974.Wells, D. G. 企鹅好奇和有趣的数字词典。 London: Penguin, p. 127, 1986.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

欧拉砖

引用为

Weisstein, Eric W. "欧拉砖。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EulerBrick.html

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