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Landau-Ramanujan 常数

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设 S(x) 表示不超过 x 的可以表示为两个平方和的正整数的数目（即，那些 n<=x 使得平方和函数 r_2(n)>0）。例如，前几个可以表示为平方和的正整数是

1=0^2+1^2
(1)
2=1^2+1^2
(2)
4=0^2+2^2
(3)
5=1^2+2^2
(4)
8=2^2+2^2
(5)

(OEIS A001481)，所以 S(1)=1, S(2)=2, S(4)=3, S(5)=4, S(8)=5，等等。那么

lim_(x->infty)(sqrt(lnx))/xS(x)=K,
(6)

正如 Landau (1908) 证明的那样，其中 K 是一个常数。Ramanujan 独立地陈述了该定理的稍微不同的形式，即介于 A 和 x 之间，要么是平方数，要么是两个平方和的数的数量是

S(x)=Kint_A^x(dt)/(sqrt(lnt))+theta(x),
(7)

其中 K approx 0.764 且 theta(x) 与之前的积分相比非常小（Berndt 和 Rankin 1995, p. 24; Hardy 1999, p. 8; Moree 和 Cazaran 1999）。

请注意，对于 n>1, r_2(n)>0 当且仅当 n 不能被素数幂 p^m 整除，其中 p=3 (mod 4) 且 m 为奇数。

LandauRamanujanConstant

该常数的数值为

K=0.764223653...
(8)

(OEIS A064533)。然而，收敛到常数 K，即 Landau-Ramanujan 常数，有时也表示为 lambda，非常缓慢。下表总结了方程 (7) 左侧对于前几个 10 的幂的值，其中 S(10^n) 的序列是 (OEIS A164775)。

xS(x)(sqrt(lnx))/xS(x)
10^171.062199
10^2430.922765
10^33300.867326
10^427490.834281
10^5240280.815287
10^62163410.804123
10^719854590.797109
10^8184578470.792198
10^91732290580.788587
10^(10)16376241560.785818

该常数的精确公式由下式给出

K=1/(sqrt(2))product_(p prime ; = 3 (mod 4))(1-1/(p^2))^(-1/2)
(9)

(Landau 1908; Le Lionnais 1983, p. 31; Berndt 1994; Hardy 1999; Moree 和 Cazaran 1999)，等效公式由下式给出

K=pi/4product_(p prime ; = 1 (mod 4))(1-1/(p^2))^(1/2).
(10)

Flajolet 和 Vardi (1996) 给出了一个收敛速度快的漂亮的公式

K=1/(sqrt(2))product_(n=1)^infty[(1-1/(2^(2^n)))(zeta(2^n))/(beta(2^n))]^(1/2^(n+1)),
(11)

其中 beta(s) 是 狄利克雷 beta 函数。

另一个闭合形式是

K=lim_(n->infty)(sqrt(lnn))/nsum_(k=1)^n[1-delta_(0,r_2(k))],
(12)

其中 delta_(i,j) 是 克罗内克 delta，而 r_2(k) 是平方和函数。

W. Gosper 使用了相关的公式

K=1/2[1/(Psi(2)-1)]^(sqrt(2))product_(k=2)^infty[1/(-Psi(2^k)-1)]^(1/(2^(k+1))),
(13)

其中

Psi(m)=(mpsi_(m-1)(1/4))/(pi^m(2^m-1)4^(m-1)B_m),
(14)

其中 B_n 是伯努利数，而 psi(x) 是多伽玛函数 (Finch 2003)。

Landau 还证明了更强的结论

lim_(x->infty)((lnx)^(3/2))/(Kx)[S(x)-(Kx)/(sqrt(lnx))]=C,
(15)

其中

C=1/2[1-ln((pie^gamma)/(2L))]-1/4d/(ds)[ln(product_(p prime; = 3 (mod 4))1/(1-p^(-2s)))]_(s=1)
(16)
=0.581948659...
(17)

(OEIS A085990)，e 是自然对数的底数，gamma 是欧拉-马歇罗尼常数，而 L 是双纽线常数。

Landau 的证明方法可以扩展以表明

S(x)∼Kx/(sqrt(lnx))
(18)

具有一个渐近级数

S(x)=Kx/(sqrt(lnx))[1+(c_1)/(lnx)+(c_2)/((lnx)^2)+...+(c_n)/((lnx)^n)+O(1/((lnx)^(n+1)))],
(19)

其中 n 可以任意大，且 c_j 是常数，其中 c_1=C (Moree 和 Cazaran 1999)。

另请参阅

Landau 常数, Landau-Kolmogorov 常数, 平方数

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参考文献

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 60-66, 1994.Berndt, B. C. and Rankin, R. A. Ramanujan: Letters and Commentary. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 25, 47, and 49, 1995.Finch, S. R. "Landau-Ramanujan Constant." §2.3 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 98-104, 2003.Flajolet, P. and Vardi, I. "Zeta Function Expansions of Classical Constants." Unpublished manuscript. 1996. http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/landau.ps.Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, pp. 9-10, 55, and 60-64, 1999.Landau, E. "Über die Einteilung der positiven ganzen Zahlen in vier Klassen nach der Mindeszahl der zu ihrer additiven Zusammensetzung erforderlichen Quadrate." Arch. Math. Phys. 13, 305-312, 1908.Landau, E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Bd. II, 2nd ed. New York: Chelsea, pp. 641-669, 1953.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, 1983.Moree, P. and Cazaran, J. "On a Claim of Ramanujan in His First Letter to Hardy." Expos. Math. 17, 289-312, 1999.Selberg, A. Collected Papers, Vol. 2. Berlin: Springer-Verlag, pp. 183-185, 1991.Shanks, D. "The Second-Order Term in the Asymptotic Expansion of B(x)." Math. Comput. 18, 75-86, 1964.Shanks, D. "Non-Hypotenuse Numbers." Fibonacci Quart. 13, 319-321, 1975.Shanks, D. and Schmid, L. P. "Variations on a Theorem of Landau. I." Math. Comput. 20, 551-569, 1966.Shiu, P. "Counting Sums of Two Squares: The Meissel-Lehmer Method." Math. Comput. 47, 351-360, 1986.Sloane, N. J. A. Sequences A001481/M0968, A064533, A085990, and A164775 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Stanley, G. K. "Two Assertions Made by Ramanujan." J. London Math. Soc. 3, 232-237, 1928.Stanley, G. K. Corrigendum to "Two Assertions Made by Ramanujan." J. London Math. Soc. 4, 32, 1929. Wolfram Research, Inc. "Computing the Landau-Ramanujan Constant." http://library.wolfram.com/infocenter/Demos/120/.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Landau-Ramanujan 常数

请引用本文为

Weisstein, Eric W. "Landau-Ramanujan 常数。" 来自 MathWorld-- Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Landau-RamanujanConstant.html

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