Landau-Ramanujan 常数

设表示不超过的可以表示为两个平方和的正整数的数目（即，那些使得平方和函数）。例如，前几个可以表示为平方和的正整数是

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)

(OEIS A001481)，所以 , , , , ，等等。那么

(6)

正如 Landau (1908) 证明的那样，其中是一个常数。Ramanujan 独立地陈述了该定理的稍微不同的形式，即介于和之间，要么是平方数，要么是两个平方和的数的数量是

(7)

其中且与之前的积分相比非常小（Berndt 和 Rankin 1995, p. 24; Hardy 1999, p. 8; Moree 和 Cazaran 1999）。

请注意，对于 , 当且仅当不能被素数幂整除，其中且为奇数。

该常数的数值为

(8)

(OEIS A064533)。然而，收敛到常数，即 Landau-Ramanujan 常数，有时也表示为，非常缓慢。下表总结了方程 (7) 左侧对于前几个 10 的幂的值，其中的序列是 (OEIS A164775)。


	7	1.062199
	43	0.922765
	330	0.867326
	2749	0.834281
	24028	0.815287
	216341	0.804123
	1985459	0.797109
	18457847	0.792198
	173229058	0.788587
	1637624156	0.785818

该常数的精确公式由下式给出

K=1/(sqrt(2))product_(p prime ; = 3 (mod 4))(1-1/(p^2))^(-1/2)

(9)

(Landau 1908; Le Lionnais 1983, p. 31; Berndt 1994; Hardy 1999; Moree 和 Cazaran 1999)，等效公式由下式给出

K=pi/4product_(p prime ; = 1 (mod 4))(1-1/(p^2))^(1/2).

(10)

Flajolet 和 Vardi (1996) 给出了一个收敛速度快的漂亮的公式

(11)

其中是狄利克雷 beta 函数。

另一个闭合形式是

(12)

其中是克罗内克 delta，而是平方和函数。

W. Gosper 使用了相关的公式

(13)

其中

(14)

其中是伯努利数，而是多伽玛函数 (Finch 2003)。

Landau 还证明了更强的结论

(15)

其中

			(16)
			(17)

(OEIS A085990)，e 是自然对数的底数，是欧拉-马歇罗尼常数，而是双纽线常数。

Landau 的证明方法可以扩展以表明

(18)

具有一个渐近级数

(19)

其中可以任意大，且是常数，其中 (Moree 和 Cazaran 1999)。

另请参阅

Landau 常数, Landau-Kolmogorov 常数, 平方数

使用探索

更多尝试

参考文献

Berndt, B. C. Ramanujan's Notebooks, Part IV. New York: Springer-Verlag, pp. 60-66, 1994.Berndt, B. C. and Rankin, R. A. Ramanujan: Letters and Commentary. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 25, 47, and 49, 1995.Finch, S. R. "Landau-Ramanujan Constant." §2.3 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 98-104, 2003.Flajolet, P. and Vardi, I. "Zeta Function Expansions of Classical Constants." Unpublished manuscript. 1996. http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/landau.ps.Hardy, G. H. Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3rd ed. New York: Chelsea, pp. 9-10, 55, and 60-64, 1999.Landau, E. "Über die Einteilung der positiven ganzen Zahlen in vier Klassen nach der Mindeszahl der zu ihrer additiven Zusammensetzung erforderlichen Quadrate." Arch. Math. Phys. 13, 305-312, 1908.Landau, E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Bd. II, 2nd ed. New York: Chelsea, pp. 641-669, 1953.Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, 1983.Moree, P. and Cazaran, J. "On a Claim of Ramanujan in His First Letter to Hardy." Expos. Math. 17, 289-312, 1999.Selberg, A. Collected Papers, Vol. 2. Berlin: Springer-Verlag, pp. 183-185, 1991.Shanks, D. "The Second-Order Term in the Asymptotic Expansion of

." Math. Comput. 18, 75-86, 1964.Shanks, D. "Non-Hypotenuse Numbers." Fibonacci Quart. 13, 319-321, 1975.Shanks, D. and Schmid, L. P. "Variations on a Theorem of Landau. I." Math. Comput. 20, 551-569, 1966.Shiu, P. "Counting Sums of Two Squares: The Meissel-Lehmer Method." Math. Comput. 47, 351-360, 1986.Sloane, N. J. A. Sequences A001481/M0968, A064533, A085990, and A164775 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Stanley, G. K. "Two Assertions Made by Ramanujan." J. London Math. Soc. 3, 232-237, 1928.Stanley, G. K. Corrigendum to "Two Assertions Made by Ramanujan." J. London Math. Soc. 4, 32, 1929.